(2011•相城區(qū)一模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知拋物線y=-+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),交y軸的正半軸于點(diǎn)C,其頂點(diǎn)為M,MH⊥x軸于點(diǎn)H,MA交y軸于點(diǎn)N,sin∠MOH=
(1)求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)過H的直線與y軸相交于點(diǎn)P,過O,M兩點(diǎn)作直線PH的垂線,垂足分別為E,F(xiàn),若=時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)將(1)中的拋物線沿y軸折疊,使點(diǎn)A落在點(diǎn)D處,連接MD,Q為(1)中的拋物線上的一動(dòng)點(diǎn),直線NQ交x軸于點(diǎn)G,當(dāng)Q點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí),是否存在點(diǎn)Q,使△ANG與△ADM相似?若存在,求出所有符合條件的直線QG的解析式;若不存在,請說明理由.

【答案】分析:(1)由拋物線y=-+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),交y軸的正半軸于點(diǎn)C,其頂點(diǎn)為M,MH⊥x軸于點(diǎn)H,MA交y軸于點(diǎn)N,sin∠MOH=,求出c的值,進(jìn)而求出拋物線方程;
(2)如圖1,由OE⊥PH,MF⊥PH,MH⊥OH,可證△OEH∽△HFM,可知HE,HF的比例關(guān)系,求出P點(diǎn)坐標(biāo);
(3)首先求出D點(diǎn)坐標(biāo),寫出直線MD的表達(dá)式,由兩直線平行,兩三角形相似,可得NG∥MD,直線QG解析式.
解答:解:(1)∵M(jìn)為拋物線y=-+c的頂點(diǎn),
∴M(2,c).
∴OH=2,MH=|c|.
∵a<0,且拋物線與x軸有交點(diǎn),
∴c>0,
∴MH=c,
∵sin∠MOH=,
=
∴OM=c,
∵OM2=OH2+MH2,
∴MH=c=4,
∴M(2,4),
∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為:y=-+4.

(2)如圖1,∵OE⊥PH,MF⊥PH,MH⊥OH,
∴∠EHO=∠FMH,∠OEH=∠HFM.
∴△OEH∽△HFM,
==,
=,
∴MF=HF,
∴∠OHP=∠FHM=45°,
∴OP=OH=2,
∴P(0,2).
如圖2,同理可得,P(0,-2).


(3)∵A(-1,0),
∴D(1,0),
∵M(jìn)(2,4),D(1,0),
∴直線MD解析式:y=4x-4,
∵ON∥MH,∴△AON∽△AHM,
===
∴AN=,ON=,N(0,).
如圖3,若△ANG∽△AMD,可得NG∥MD,
∴直線QG解析式:y=4x+,
如圖4,若△ANG∽△ADM,可得=
∴AG=,
∴G(,0),
∴QG:y=-x+,
綜上所述,符合條件的所有直線QG的解析式為:y=4x+或y=-x+

點(diǎn)評:本題二次函數(shù)的綜合題,要求會求二次函數(shù)的解析式和兩圖象的交點(diǎn),會應(yīng)用三角形相似定理,本題步驟有點(diǎn)多,做題需要細(xì)心.
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(1)求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)過H的直線與y軸相交于點(diǎn)P,過O,M兩點(diǎn)作直線PH的垂線,垂足分別為E,F(xiàn),若=時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)將(1)中的拋物線沿y軸折疊,使點(diǎn)A落在點(diǎn)D處,連接MD,Q為(1)中的拋物線上的一動(dòng)點(diǎn),直線NQ交x軸于點(diǎn)G,當(dāng)Q點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí),是否存在點(diǎn)Q,使△ANG與△ADM相似?若存在,求出所有符合條件的直線QG的解析式;若不存在,請說明理由.

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