Question

以△ABC的邊AB，AC為邊分別向外作正方形ABDE和正方形ACFG，連接EG．
（1）如圖1，當(dāng)AC，AE在同一條直線上時(shí)，試判斷△ABC、△AEG面積之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）如圖2，當(dāng)AC，AE不在同一條直線上時(shí)，圖1中的結(jié)論是否成立，并說(shuō)明理由，

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可以得出△ABC≌△AEG，就可以得出S_△ABC=S_△AEG；
（2）作AH⊥GA交GA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，作BP⊥AC于點(diǎn)P，證明△AHE≌△APB就可以得出EH=BP，就可以得出結(jié)論．

解答：解：（1）S_△ABC=S_△AEG；
理由：∵四邊形ABDE和四邊形ACFG都是正方形，
∴AE=AB，AG=AC，∠EAB=∠GAC=90°，
∵AC，AE在同一條直線上，
∴∠EAB+∠BAC=180°，
∴∠BAC=90°．
∵∠EAB+∠GAC+∠BAC+∠EAG=360°，
∴∠EAG=90°，
∴∠BAC=∠EAG．
在△ABC和△AEG中

AB=AE ∠BAC=∠EAG AC=AG

∴△ABC≌△AEG（SAS），
∴S_△ABC=S_△AEG；
（2）S_△ABC=S_△AEG成立．
理由：作AH⊥GA交GA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，作BP⊥AC于點(diǎn)P，
∴∠AHE=∠APB=90°．
∵四邊形ABDE和四邊形ACFG都是正方形，
∴AE=AB，AG=AC，∠EAB=∠GAC=90°，
∵∠EAB+∠GAC+∠BAC+∠EAG=360°，
∴∠EAG+∠BAC=180°．
∵∠EAG+∠EAH=180°，
∴∠EAH=∠BAP．
在△AHE和△APB中

∠AHE=∠APB ∠EAH=∠BAP AE=AB

，
∴△AHE≌△APB（AAS），
∴EH=BP．
∵AG=AC，
∴

1

2

AG．EH=

1

2

AC．BP，
∴S_△ABC=S_△AEG．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，三角形的面積公式的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵．