【題目】已知二次函數y=﹣x2+bx+c的圖象與x軸的正半軸相交于點A(2,0)和點B、與y軸相交于點C,它的頂點為M、對稱軸與x軸相交于點N.
(1)用b的代數式表示頂點M的坐標;
(2)當tan∠MAN=2時,求此二次函數的解析式及∠ACB的正切值.
【答案】(1)M(, );(2),
【解析】試題分析:把點A(2,0)坐標代入二次函數解析式得出,再帶回到中,配方化為頂點式即可得到頂點M的坐標;(2)先由tan∠MAN=2得出MN的長度,再分類討論點B和N的位置關系,得出b的值,進而得出二次函數的解析式,A作AH⊥BC,根據正切函數定義即可得出∠ACB的正切值
解:(1)∵二次函數的圖像經過點A(2,0),
∴,
∴,
∴,
∴頂點M的坐標為(, ).
(2)∵tan∠MAN=2,∴MN=2AN.
∵M(, ),∴ N(,0),.
①當點B在點N左側時, AN= ,∴, .
不符合題意.
②當點B在點N右側時, AN= , ∴, .
∴二次函數的解析式為.
∴點C(0,–10),∵點A、B關于直線MN對稱,∴點B(10,0).
∵OB=OC=10,∴BC=10,∠OBC=45°.
過點A作AH⊥BC,垂足為H,∵AB=8,∴AH=BH=4,∴CH=6.
∴.
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【題目】在△ABC中,∠ACB是銳角,點D在射線BC上運動,連接AD,將線段AD繞點A逆時針旋轉90°,得到AE,連接EC.
(1)操作發(fā)現(xiàn):若AB=AC,∠BAC=90°,當D在線段BC上時(不與點B重合),如圖①所示,請你直接寫出線段CE和BD的位置關系和數量關系是_____,_____;
(2)猜想論證:
在(1)的條件下,當D在線段BC的延長線上時,如圖②所示,請你判斷(1)中結論是否成立,并證明你的判斷.
(3)拓展延伸:
如圖③,若AB≠AC,∠BAC≠90°,點D在線段BC上運動,試探究:當銳角∠ACB等于_____度時,線段CE和BD之間的位置關系仍成立(點C、E重合除外)?此時若作DF⊥AD交線段CE于點F,且當AC=3時,請直接寫出線段CF的長的最大值是_____
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】學校新到一批理、化、生實驗器材需要整理,若實驗管理員李老師一人單獨整理需要40分鐘完成,現(xiàn)在李老師與工人王師傅共同整理20分鐘后,李老師因事外出,王師傅再單獨整理了20分鐘才完成任務.
(1)王師傅單獨整理這批實驗器材需要多少分鐘?
(2)學校要求王師傅的工作時間不能超過30分鐘,要完成整理這批器材,李老師至少要工作多少分鐘?
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知△ABC中,∠B=90°,BC=3,AB=4,D是邊AB上一點,DE∥BC交AC于點E,將△ADE沿DE翻折得到△A′DE,若△A′EC是直角三角形,則AD長為_______.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】點P為直線m外一點,點A,B,C為直線m上三點,PA=4cm,PB=5cm,PC=2cm,則點P到直線m的距離為( )
A. 4cmB. 2cm;C. 小于2cmD. 不大于2cm
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