Question

2．如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E從點(diǎn)C出發(fā)，沿CD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，連結(jié)AE，以AE為直徑作⊙O，交正方形的對(duì)角線BD于點(diǎn)F，連結(jié)AF，EF，以點(diǎn)D為垂足，作BD的垂線，交⊙O于點(diǎn)G，連結(jié)GA，GE．
[發(fā)現(xiàn)]
（1 ）在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過程中，找段AF=EF（填“＞”、“=”或“＜”）
（2）求證：四邊形AGEF是正方形；
[探究]（3）當(dāng)點(diǎn)E在線段CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，探索BF、FD、AE之間滿足的等量關(guān)系，開加以證明；當(dāng)點(diǎn)E在線段CD的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，上述等量關(guān)系是否成立？（答“成立”或“不成立”）
[拓展]
（4）如圖2，矩形MNST中，MN=6，MT=8，點(diǎn)Q從點(diǎn)S出發(fā)，沿射線SN運(yùn)動(dòng)，連結(jié)MQ，以MQ為直徑作⊙K，交射線TN于點(diǎn)P，以MP，QP為鄰邊作⊙K的內(nèi)接矩形MHQP．當(dāng)⊙K與射線TN相切時(shí)，點(diǎn)Q停止運(yùn)動(dòng)，在點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)過程中，設(shè)矩形MHQP的面積為S，MP=m．
①求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求S的最值；
②直接寫出點(diǎn)H移動(dòng)路線的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由四邊形ABCD是正方形，得到∠ADB=∠AEF=45°，推出△AEF是等腰直角三角形，于是得到結(jié)論；
（2）根據(jù)圓周角定理得到FG為⊙O的直徑，推出∠FAG=∠FEG=90°，根據(jù)正方形的判定定理即可得到結(jié)論；
（3）根據(jù)已知條件得到△BAF≌△DAG，證得BF=GD，根據(jù)勾股定理得到GD²+FD²=FG²，即可得到結(jié)論；
（4）①根據(jù)圓周角定理得到∠MQP=∠MNP，∠MPQ=∠TMN=90°，推出△MPQ∽△TMN，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到S=2S_△MPQ=2•$\frac{3}{8}$m²=$\frac{3}{4}$m²，當(dāng)點(diǎn)Q在射線SN上運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)P在TN上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)T重合時(shí)，MP取得最大值，即m_大=MT=8；當(dāng)MP⊥TN時(shí)，MP取得最小值，于是得到結(jié)論；
②如圖3，因?yàn)楫?dāng)⊙K與射線TN相切時(shí)，點(diǎn)Q停止運(yùn)動(dòng)，于是得到點(diǎn)H的起點(diǎn)為點(diǎn)N，終點(diǎn)為圖3中的點(diǎn)H，點(diǎn)H移動(dòng)的路線即為線段NH，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）=；
理由：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ADB=∠AEF=45°，
∵AE是⊙O的直徑，
∴∠AFE=90°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴AE=EF，
故答案為：=；

（2）證明：如圖1，連接FG，
∵∠FDG=90°，
∴FG為⊙O的直徑，
∴∠FAG=∠FEG=90°，
又∵AE是⊙O的直徑，
∴∠AFE=∠AGE=90°，
由（1）知AF=EF，
∴四邊形AGEF是正方形；

（3）如圖1，連接FG，
∵∠BAD=∠FAG=90°，
∴∠BAF=∠DAG，
在△BAF與△DAG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠BAF=∠DAG}\\{AF=AG}\end{array}\right.$，
∴△BAF≌△DAG，
∴BF=GD，
又∵AE=FG，
∴在Rt△FDG中，GD²+FD²=FG²，
即BF²+FD²=AE²，
當(dāng)點(diǎn)E在線段CD的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，上述等量關(guān)系仍然成立；

（4）①如圖2，在以MQ為直徑作⊙K中，
∵∠MQP=∠MNP，∠MPQ=∠TMN=90°，
∴△MPQ∽△TMN，S_△TMN=$\frac{TM•MN}{2}$=$\frac{8×6}{2}$=24，
∴$\frac{{{S_{△MPQ}}}}{{{S_{△TMN}}}}={（{\frac{MP}{TM}}）^2}$，$\frac{{{S_{△MPQ}}}}{24}={（{\frac{m}{8}}）^2}$，${S_{△MPQ}}=\frac{3}{8}{m^2}$，
∴S=2S_△MPQ=2•$\frac{3}{8}$m²=$\frac{3}{4}$m²，
當(dāng)點(diǎn)Q在射線SN上運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)P在TN上運(yùn)動(dòng)，
當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)T重合時(shí)，MP取得最大值，即m_大=MT=8；
當(dāng)MP⊥TN時(shí)，MP取得最小值，即m_小=$\frac{MT•MN}{TN}=\frac{8×6}{10}=\frac{24}{5}$，
∴$\frac{24}{5}$≤m≤8，由$S=\frac{3}{4}{m^2}$得，
當(dāng)m=8時(shí)，${S_大}=\frac{3}{4}×{8^2}=48$；
當(dāng)m=$\frac{24}{5}$時(shí)，${S_小}=\frac{3}{4}×{（{\frac{24}{5}}）^2}=\frac{432}{25}$；
②如圖3，連接NH并延長(zhǎng)，在點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)過程中，
始終有∠MNH=∠MTN=定值，因?yàn)楫?dāng)⊙K與射線TN相切時(shí)，點(diǎn)Q停止運(yùn)動(dòng)，
∴點(diǎn)H的起點(diǎn)為點(diǎn)N，終點(diǎn)為圖3中的點(diǎn)H，點(diǎn)H移動(dòng)的路線即為線段NH，
∵△MHN∽△STN，
∴$\frac{HN}{TN}=\frac{MN}{SN}$，即$\frac{HN}{10}=\frac{6}{8}$，
∴HN=$\frac{15}{2}$，
∴點(diǎn)H移動(dòng)的路線長(zhǎng)為$\frac{15}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)和判定，矩形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確的理解題意，畫出圖形是解題的關(guān)鍵．