【題目】如圖,已知拋物線y=﹣x2+2x+3與x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊),與y軸交于點(diǎn)C,連接BC.

(1)求A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)若點(diǎn)P為線段BC上一點(diǎn)(不與B,C重合),PM∥y軸,且PM交拋物線于點(diǎn)M,交x軸于點(diǎn)N,當(dāng)△BCM的面積最大時(shí),求△BPN的周長(zhǎng);
(3)在(2)的條件下,當(dāng)△BCM的面積最大時(shí),在拋物線的對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)Q,使得△CNQ為直角三角形,求點(diǎn)Q的坐標(biāo).

【答案】
(1)解:由拋物線的解析式y(tǒng)=﹣x2+2x+3,

∴C(0,3),

令y=0,﹣x2+2x+3=0,解得x=3或x=﹣1;

∴A(﹣1,0),B(3,0).


(2)解:設(shè)直線BC的解析式為:y=kx+b,則有:

,解得 ,

∴直線BC的解析式為:y=﹣x+3.

設(shè)P(x,﹣x+3),則M(x,﹣x2+2x+3),

∴PM=(﹣x2+2x+3)﹣(﹣x+3)=﹣x2+3x.

∴SBCM=SPMC+SPMB= PM(xP﹣xC)+ PM(xB﹣xP)= PM(xB﹣xC)= PM.

∴SBCM= (﹣x2+3x)=﹣ (x﹣ 2+

∴當(dāng)x= 時(shí),△BCM的面積最大.

此時(shí)P( , ),∴PN=ON= ,

∴BN=OB﹣ON=3﹣ =

在Rt△BPN中,由勾股定理得:PB=

CBCN=BN+PN+PB=3+

∴當(dāng)△BCM的面積最大時(shí),△BPN的周長(zhǎng)為3+


(3)解:∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4

∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1.

在Rt△CNO中,OC=3,ON= ,由勾股定理得:CN=

設(shè)點(diǎn)D為CN中點(diǎn),則D( , ),CD=ND=

如解答圖,△CNQ為直角三角形,

①若點(diǎn)Q為直角頂點(diǎn).

作Rt△CNO的外接圓⊙D,與對(duì)稱軸交于Q1、Q2兩點(diǎn),由圓周角定理可知,Q1、Q2兩點(diǎn)符合題意.

連接Q1D,則Q1D=CD=ND=

過點(diǎn)D( , )作對(duì)稱軸的垂線,垂足為E,

則E(1, ),Q1E=Q2E,DE=1﹣ =

在Rt△Q1DE中,由勾股定理得:

Q1E= =

∴Q1(1, ),Q2(1, );

②若點(diǎn)N為直角頂點(diǎn).

過點(diǎn)N作NF⊥CN,交對(duì)稱軸于點(diǎn)Q3,交y軸于點(diǎn)F.

易證Rt△NFO∽R(shí)t△CNO,則 = ,即 ,解得OF=

∴F(0,﹣ ),又∵N( ,0),

∴可求得直線FN的解析式為:y= x﹣

當(dāng)x=1時(shí),y=﹣ ,

∴Q3(1,﹣ );

③當(dāng)點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)時(shí).

過點(diǎn)C作Q4C⊥CN,交對(duì)稱軸于點(diǎn)Q4

∵Q4C∥FN,∴可設(shè)直線Q4C的解析式為:y= x+b,

∵點(diǎn)C(0,3)在該直線上,∴b=3.

∴直線Q4C的解析式為:y= x+3,

當(dāng)x=1時(shí),y= ,

∴Q4(1, ).

綜上所述,滿足條件的點(diǎn)Q有4個(gè),

其坐標(biāo)分別為:Q1(1, ),Q2(1, ),Q3(1,﹣ ),Q4(1, ).


【解析】(1)根據(jù)函數(shù)解析式由x=0求出點(diǎn)C的坐標(biāo),由y=0,求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)。
(2)先求出直線BC的函數(shù)解析式,抓住PM∥y軸,設(shè)出點(diǎn)P、M的坐標(biāo)(點(diǎn)P、M的橫坐標(biāo)相同),就可以求出SBCM與x的函數(shù)解析式,即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo),再求出PN、BP、BN的長(zhǎng),即可求出△BPN的周長(zhǎng)。
(3)在Rt△CON中,利用勾股定理可求出CN的長(zhǎng),再求出CN的中點(diǎn)D的坐標(biāo),然后分類討論:①若點(diǎn)Q為直角頂點(diǎn).②若點(diǎn)N為直角頂點(diǎn).③當(dāng)點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)時(shí).運(yùn)用勾股定理、相似三角形的性質(zhì)和判定、一次函數(shù)等相關(guān)知識(shí)進(jìn)行解答。

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,已知∠A=∠D,有下列五個(gè)條件:①AE=DE,②BE=CE,③AB=DC,④∠ABC=∠DCB,⑤AC=BD,能證明△ABC與△DCB全等的條件有幾個(gè)?并選擇其中一個(gè)進(jìn)行證明.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖①、圖②,在給定的一張矩形紙片上作一個(gè)正方形,甲、乙兩人的作法如下:

甲:以點(diǎn)A為圓心,AD長(zhǎng)為半徑畫弧,交AB于點(diǎn)E,以點(diǎn)D為圓心,AD長(zhǎng)為半徑畫弧,交CD于點(diǎn)F,連接EF,則四邊形AEFD即為所求;

乙:作∠DAB的平分線,交CD于點(diǎn)M,同理作∠ADC的平分線,交AB于點(diǎn)N,連接MN,則四邊形ADMN即為所求.

對(duì)于以上兩種作法,可以做出的判定是(  )

A.甲正確,乙錯(cuò)誤B.甲、乙均正確

C.乙正確,甲錯(cuò)誤D.甲、乙均錯(cuò)誤

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,點(diǎn)O,A在數(shù)軸上表示的數(shù)分別是0,l,將線段OA分成1000等份,其分點(diǎn)由左向右依次為M1,M2M999;將線段OM1分成1000等份,其分點(diǎn)由左向右依次為N1,N2N999;將線段ON1分成1000等份,其分點(diǎn)由左向右依次為P1,P2P999.則點(diǎn)P314所表示的數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為_____

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,已知CD平分∠ACB,∠1=2

1)求證:DEAC;

2)若∠3=30°,∠B=25°,求∠BDE的度數(shù).

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,在△ABC中,DBC邊上一點(diǎn),AB=DB,BE平分∠ABC,交AC于點(diǎn)E,連接DE

1)求證:△ABE≌△DBE;

2)若∠A=100°,∠C=50°,求∠AEB的度數(shù).

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】兩種方法證明“四邊形的外角和等于360°”.

如圖,DAEABF、BCGCDH是四邊形ABCD的四個(gè)外角.

求證:DAEABFBCG∠CDH360°

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知△ABC中,AB=AC,點(diǎn)D,E分別在直線ABAC上,且∠DEC=DCE

1)如圖1,點(diǎn)D在線段AB上∠A=90°,若等腰直角三角形的邊與斜邊之比為,求證:

2)如圖2,若點(diǎn)D在線段AB的延長(zhǎng)線上,∠A=60°,求證:EB=AD

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】為了進(jìn)一步了解七年級(jí)800名學(xué)生的身體素質(zhì)情況,體育老師抽取七年級(jí)男女各25位學(xué)生進(jìn)行一分鐘跳繩次數(shù)測(cè)試,以測(cè)試數(shù)據(jù)為樣本,繪制出部分頻數(shù)分布表和部分頻數(shù)分布直方圖.如下所示:

組別

次數(shù)x

頻數(shù)(人數(shù))

1

80≤x100

6

2

100≤x120

8

3

120≤x140

4

140≤x160

16

5

160≤x180

6

請(qǐng)結(jié)合圖表完成下列問題:

(1)表中的,跳繩次數(shù)低于140次的有人,則

(2)請(qǐng)把頻數(shù)分布直方圖補(bǔ)充完整;

3)若七年級(jí)學(xué)生一分鐘跳繩次數(shù)(x)達(dá)標(biāo)要求是:x120.請(qǐng)估算七年級(jí)學(xué)生達(dá)標(biāo)人數(shù).

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案