Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以BC為直徑作⊙O交斜邊AB于點D，E為AC上一點，延長ED、CB交于F點，且∠A+∠F=∠ABC．
（1）求證：直線EF為⊙O的切線；
（2）若tan∠A=，求tan∠F的值．

Answer 1

（1）證明：連OD、DC，如圖，
∵BC為直徑，
∴∠BDC=90°，
∴∠ADC=90°，
∵∠ABC=∠F+∠BDF，
而∠A+∠F=∠ABC，
∴∠BDF=∠A，
又∵∠BDF=∠ADE，
∴∠A=∠ADE，
而∠ECD+∠A=∠EDC+∠ADE=90°，
∴∠ECD=∠EDC，
而∠ACB=90°，OD=OC，
∴∠EDC+∠ODC=∠ECD+∠OCD=90°，
∴直線EF為⊙O的切線；

（2）解：過D作DH⊥BC于H，如圖，
∵∠ODH+∠DOB=90°，∠F+∠DOB=90°，
∴∠ODH=∠F，
∵∠A+∠ACD=90°，∠ACD+∠DCB=90°，
∴∠A=∠DCB，
在Rt△BCD中，tan∠DCB=，
而tan∠A=，
不妨設DB=3x，CD=4x，
BC==5x，
∴OC=x，
∵OH•BC=CD•BD，
∴OH=x，
在Rt△ODH中，OH===x，
∴tan∠ODH===，
∴tan∠F=．
分析：（1）連OD、DC，根據(jù)圓周角定理的推論由BC為直徑得到∠BDC=90°，則∠ADC=90°，根據(jù)三角形外角∠ABC=∠F+∠BDF，而∠A+∠F=∠ABC，則∠BDF=∠A，根據(jù)等角的余角相等得到∠ECD=∠EDC，而∠ECD+∠OCD=90°，易得∠EDC+∠ODC=∠ECD+∠OCD=90°，根據(jù)切線的判定定理即可得到結論；
（2）過D作DH⊥BC于H，根據(jù)等角的余角相等得到∠ODH=∠F，∠A=∠DCB，在Rt△BCD中，tan∠DCB=，不妨設DB=3x，CD=4x，利用勾股定理可計算出BC=5x，即半徑為x，利用面積公式可計算出OH=x，在Rt△ODH中，利用勾股定理計算出OH=x，然后根據(jù)正切的定義得到tan∠ODH==，即可得到tan∠F的值．
點評：本題考查了切線的判定：經(jīng)過半徑的外端點，并且與半徑垂直的直線是圓的切線．也考查了圓周角定理的推論以及解直角三角形．