Question

5．用換元法解下列方程：
（1）x-12+$\sqrt{x}$=0；
（2）x²+3x+$\sqrt{{x}^{2}+3x}$=6．

Answer 1

分析 （1）設$\sqrt{x}$=a，將原方程化為關于a的一元二次方程解出，再代回$\sqrt{x}$=a，求出x；
（2）設$\sqrt{{x}^{2}+3x}$=a，將原方程化為a²+a-6=0，解這個一元二次方程，再代入$\sqrt{{x}^{2}+3x}$=a中求x．

解答 解：（1）x-12+$\sqrt{x}$=0；
設$\sqrt{x}$=a，
則原方程化為：a²+a-12=0，
（a+4）（a-3）=0，
a₁=-4，a₂=3，
當a₁=-4時，$\sqrt{x}$=-4，無實數(shù)解，
當a₂=3時，$\sqrt{x}$=3，x=9，
∴原方程的解為：x=9；
（2）x²+3x+$\sqrt{{x}^{2}+3x}$=6，
設$\sqrt{{x}^{2}+3x}$=a，
則原方程化為：a²+a-6=0，
（a+3）（a-2）=0，
a₁=-3，a₂=2，
當a₁=-3時，$\sqrt{{x}^{2}+3x}$=-3，無實數(shù)解，
當a₂=2時，$\sqrt{{x}^{2}+3x}$=2，
x²+3x-4=0，
（x+4）（x-1）=0，
x₁=-4，x₂=1，
∴原方程的解為：x₁=-4，x₂=1．

點評 本題是運用換元法解可化為一元二次方程的無理方程，解方程時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，這種方法叫換元法；此題的關鍵是恰當?shù)卦O出新的未知數(shù)，把一些形式復雜的方程通過換元的方法變成一元二次方程，從而達到降次的目的．