Question

如圖，BE是⊙O的直徑，點A在EB的延長線上，弦PD⊥BE，垂足為C，連接OD，且∠AOD=∠APC．
（1）求證：AP是⊙O的切線；
（2）若OC：CB=1：2，且AB=9，求⊙O的半徑及sinA的值．

Answer 1

（1）證明：連接OP，
∵PD⊥BE，
∴∠OCD=90°，
∴∠ODC+∠COD=90°；
∵OP=OD，
∴∠OPC=∠ODC，
∵∠APC=∠COD，
∴∠OPC+∠APC=90°，
∴∠APO=90°，
∴AP是⊙O的切線；

（2）解：∵PD⊥BE，BE為直徑，
∴PC²=BC•CE；
設(shè)OC=x，
∵OC：CB=1：2，
∴CB=2x，CE=4x，
∴PC²=2x•4x=8x²；
∵AC=AB+BC，AB=9，
∴AC²=（9+2x）²，由勾股定理，得AP²=AC²+PC²=（9+2x）²+8x²；
又∵AP是⊙O的切線，ABE是⊙O的割線，
∴AP²=AB•AE，
即（9+2x）²+8x²=9×（9+6x），
解得：x₁=1.5，x₂=0（舍去）；
∴⊙O的半徑OP=OB=3x=4.5，
∴sinA=OP：AO=4.5：13.5=1：3．
分析：（1）要證PA是⊙O的切線，只要連接OP，再證∠APO=90°即可．
（2）由切割線定理，勾股定理求出⊙O的半徑，在直角三角形OAP中根據(jù)三角函數(shù)的定義求出sinA的值．
點評：本題考查了切線的判定．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．