【題目】如圖,⊙O的半徑OD⊥弦AB于點C,連結(jié)AO并延長交⊙O于點E,連結(jié)EC.若AB=8,CD=2,則EC的長為( )

A. 2 B. 8 C. 2 D. 2

【答案】D

【解析】連結(jié)BE,設⊙O的半徑為R,由OD⊥AB,根據(jù)垂徑定理得AC=BC=AB=4,在Rt△AOC中,OA=R,OC=R-CD=R-2,根據(jù)勾股定理得到(R-2)2+42=R2,解得R=5,則OC=3,由于OC為△ABE的中位線,則BE=2OC=6,再根據(jù)圓周角定理得到∠ABE=90°,然后在Rt△BCE中利用勾股定理可計算出CE.

解:連結(jié)BE,設⊙O的半徑為R,如圖所示,

∵OD⊥AB,

∴AC=BC=AB=×8=4,

在Rt△AOC中,OA=R,OC=R-CD=R-2,

∵OC2+AC2=OA2,

∴(R-2)2+42=R2,解得R=5,

∴OC=5-2=3,

∴BE=2OC=6,

∵AE為直徑,

∴∠ABE=90°,

在Rt△BCE中,

考點: 1.垂徑定理;2.勾股定理;3.三角形中位線定理;4.圓周角定理.

“點睛”本題考查的是垂徑定理及勾股定理,根據(jù)題意作出輔助線,構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關鍵.

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根據(jù)正方形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì),得出PE=PF,
再證明△PEQ≌△PFB,可得出結(jié)論,他的結(jié)論應是
(2)如圖2,當點Q落在DC的延長線上時,猜想并寫出PB與PQ滿足的數(shù)量關系,并證明你的猜想.

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