Question

已知拋物線y=﹣x²+bx+c的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=1，此拋物線與y軸交于點(diǎn)A，頂點(diǎn)為B，對(duì)稱(chēng)軸BC與x軸交于點(diǎn)C．△ABC的面積等于1.5.

（1）請(qǐng)求出拋物線的解析式,并求出點(diǎn)A的坐標(biāo).

（2）在拋物線上是否存在點(diǎn)M，使得△MAB的面積等于△ABC的面積.如果存在，求出符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（3）點(diǎn)P在拋物線上，直線PQ∥BC交x軸于點(diǎn)Q，連接BQ．

①若含45°角的直角三角板如圖2所示放置．其中，一個(gè)頂點(diǎn)與點(diǎn)C重合，直角頂點(diǎn)D在BQ上，另一 個(gè)頂點(diǎn)E在PQ上.請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)和直線BQ的函數(shù)解析式；

②若含30°角的直角三角板一個(gè)頂點(diǎn)與點(diǎn)C重合，直角頂點(diǎn)D在直線BQ上，另一個(gè)頂點(diǎn)E在PQ上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

 

Answer 1

【答案】

 

（1）        A（0 ，4 ）

 （2） ( －3, －1 )      ( 4,3/4)

   （3）①Q(mào)（4，0）    直線BQ的解析式為：y=-x+4；

②P1（1+，），P2（1+3，-），P3（1-，），

P4（1-3，-）

【解析】（1）有拋物線的對(duì)稱(chēng)軸方程可求出b的值，通過(guò)△ABC的面積求得c的值，進(jìn)而求出拋物線的解析式和點(diǎn)A的坐標(biāo)；

（2）假設(shè)在拋物線上是存在點(diǎn)M，使得△MAB的面積等于△ABC的面積，那么利用同底的三角形，只要證明點(diǎn)C到AB的距離等于M到AB的距離即可，解得。

（3）由題中條件可知點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為頂點(diǎn)B的橫坐標(biāo)，然后利用E點(diǎn)與PQ共線得到點(diǎn)E的橫坐標(biāo)，然后借助于直角三角形的垂直關(guān)系，可知道點(diǎn)Q的坐標(biāo)，從而得到直線BQ的方程，同理可知道點(diǎn)P的坐標(biāo)。

（3）①由△CDE是等腰直角三角形，分別過(guò)點(diǎn)D作x軸和PQ的垂線，通過(guò)三角形全等得到∠DQO=45°，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法求出BQ的解析式．

②分點(diǎn)P在對(duì)稱(chēng)軸的左右兩邊討論，根據(jù)相似三角形先求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，然后代入拋物線求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．