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（1）求證：
x
ax-a2
+
y
ay-a2
+
z
az-a2
=
1
x-a
+
1
y-a
+
1
z-a
+
3
a

（2）求證：(a+
1
a
)2+(b+
1
b
)2+(ab+
1
ab
)2=4+(a+
1
a
)(b+
1
b
)(ab+
1
ab
)．
分析：（1）從較復雜的等式左邊推向等式右邊，由于分母ax-a2=a（x-a），分子x可添項為a+（x-a），按分式的加法的逆運算做客出現等式右邊的形式，其他仿照做即可；
（2）等式兩邊都較復雜，對左、右兩邊都作變形然后作差為0即可證明左右兩邊相等．
解答：解：（1）左邊=
a+(x-a)
a(x-a)
+
a+(y-a)
a(y-a)
+
a+(z-a)
a(z-a)
=
1
a
+
1
x-a
+
1
a
+
1
y-a
+
1
a
+
1
z-a
=
1
x-a
+
1
y-a
+
1
z-a
+
3
a
=右邊；
（2）∵(a+
1
a
)2+(b+
1
b
)2+(ab+
1
ab
)2-[4+（a+
1
a
）（b+
1
b
）（ab+
1
ab
）]
=a2+2+
1
a2
+b2+2+
1
b2
-4+（ab+
1
ab
）2-（a+
1
a
）（b+
1
b
）（ab+
1
ab
）
=a2+
1
a2
+b2+
1
b2
+（ab+
1
ab
）[（ab+
1
ab
）-（a+
1
a
）（b+
1
b
）]
=a2+
1
a2
+b2+
1
b2
+（ab+
1
ab
）（-
b
a
-
a
b
）
=a2+
1
a2
+b2+
1
b2
-a2-
1
a2
-b2-
1
b2

=0，
∴(a+
1
a
)2+(b+
1
b
)2+(ab+
1
ab
)2=4+(a+
1
a
)(b+
1
b
)(ab+
1
ab
)．
點評：此題是利用分式的混合運算進行證明，難度較大，從左邊推到右邊和求兩式的差也是常用的方法．
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