(2006•哈爾濱)已知:如圖,圓O1與圓O2外切于點P,經(jīng)過圓O1上一點A作圓O1的切線交圓O2于B、C兩點,直線AP交圓O2于點D,連接DC、PC.
(1)求證:DC2=DP•DA;
(2)若圓O1與圓O2的半徑之比為1:2,連接BD,BD=4,PD=12,求AB的長.

【答案】分析:(1)相切兩圓常作的輔助線是:兩圓的公切線,因此過點P作兩圓的內(nèi)公切線EP交AB于點F,然后證得△CDP∽△ADC,可證DC2=DP•DA;
(2)求AB的長時,由(1)知△CDP∽△ADC,可得.還可得出DP=2PA,DC=BD.再根據(jù)切割線定理得:AP•AD=AB•AC,由此可求出AB的長.
解答:(1)證明:過點P作兩圓的內(nèi)公切線EP交AB于點F,
∵FE、CA都與圓O1相切,
∴FP=FA,
∴∠FAP=∠FPA;
∵∠FPA=∠EPD=∠DCP,
∴∠FAP=∠DCP;
∵∠PDC=∠CDA,
∴△CDP∽△ADC;

∴DC2=DP•DA.

(2)解:連接O1O2,則點P在O1O2上,連接O1A、O2D,
∵O1A=O1P,
∴∠O1AP=∠O1PA;
又∵O2P=O2D,
∴∠O2DP=∠O2PD,
∴∠O1AP=∠O2DP;
∴O1A∥O2D,
=;
∴DP=2PA,
∵DP=12
∴PA=6,
由(1)中△CDP∽△ADC,得∠DCB=∠APC,;
∵∠APC=∠DBC,
∴∠DCB=∠DBC;
∴DC=BD=4
∵DP=12,AP=4,
∴AD=AP+DP=16;
,
∴AC=48
由AP•AD=AB•AC,得4×12=48AB,
∴AB=
點評:此題綜合性強,將圓的有關知識與三角形相似結合考查,有一定難度;命題立意:此題主要考查相切兩圓的位置關系及切線長定理,三角形相似的判定等知識.
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(1)求二次函數(shù)y=ax2+bx+c的解析式;
(2)作圓O’,使它經(jīng)過點A、B、C,點E是AC延長線上一點,∠BCE的平分線CD交圓O’于點D,連接AD、BD,求△ACD的面積;
(3)在(2)的條件下,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象上是否存在點P,使得∠PDB=∠CAD?如果存在,請求出所有符合條件的P點坐標;如果不存在,請說明理由.

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