Question

已知一次函數(shù)y=-

3

4

x+6的圖象與坐標(biāo)軸交于A、B點(diǎn)（如圖），AE平分∠BAO，交x軸于點(diǎn)E．

（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）求直線AE的表達(dá)式；
（3）過點(diǎn)B作BF⊥AE，垂足為F，連接OF，試判斷△OFB的形狀，并求△OFB的面積．
（4）若將已知條件“AE平分∠BAO，交x軸于點(diǎn)E”改變?yōu)椤包c(diǎn)E是線段OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)O、B重合）”，過點(diǎn)B作BF⊥AE，垂足為F．設(shè)OE=x，BF=y，試求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)的定義域．

Answer 1

分析：（1）對(duì)于一次函數(shù)y=-

3

4

x+6，令y=0和x=0求出對(duì)應(yīng)的x與y的值，確定出OA及OB的長(zhǎng)，即可確定出B的坐標(biāo)；
（2）由（1）得出A的坐標(biāo)，利用勾股定理求出AB的長(zhǎng)，過E作EG垂直于AB，由AE為角平分線，利用角平分線定理得到EO=EG，利用HL可得出直角三角形AOE與直角三角形AGE全等，可得出AO=AG，設(shè)OE=EG=x，由OB-OE表示出EB，由AB-AG=AB-AO表示出BG，在直角三角形BEG中，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，確定出OE的長(zhǎng)，得出E的坐標(biāo)，設(shè)直線AE的解析式為y=kx+b（k≠0），將A和E的坐標(biāo)代入，得到關(guān)于k與b的方程組，求出方程組的解得到k與b的值，即可得到直線AE的解析式；
（3）延長(zhǎng)BF與y軸交于K點(diǎn)，由AF為角平分線得到一對(duì)角相等，再由AF與BF垂直得到一對(duì)直角相等，以及AF為公共邊，利用ASA得出三角形AKF與三角形ABF全等，可得出AK=AB，利用三線合一得到F為BK的中點(diǎn)，在直角三角形OBK中，利用斜邊上的中線等于斜邊的一半得到OF為BK的一半，即OF=BF，過F作FH垂直于x軸于H點(diǎn)，利用三線合一得到H為OB的中點(diǎn)，由OB的長(zhǎng)求出OH的長(zhǎng)，即為F的橫坐標(biāo)，將求出的橫坐標(biāo)代入直線AE解析式中求出對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)，即為HF的長(zhǎng)，以O(shè)B為底，F(xiàn)H為高，利用三角形的面積公式即可求出三角形BOF的面積；
（4）在三角形AOE中，設(shè)OE=x，再由OA的長(zhǎng)，利用勾股定理表示出AE，再由BE=OB-OE表示出BE，由三角形AEB的面積可以由AE為底，BF為高來(lái)求出，也可以由EB為底，OA為高來(lái)求出，兩種方法表示出的面積相等列出關(guān)系式，整理后即可得到y(tǒng)與x的函數(shù)關(guān)系式，同時(shí)求出x的范圍即為函數(shù)的定義域．

解答：
解：（1）對(duì)于y=-

3

4

x+6，
當(dāng)x=0時(shí)，y=6；當(dāng)y=0時(shí)，x=8，
∴OA=6，OB=8，
在Rt△AOB中，根據(jù)勾股定理得：AB=10，
則A（0，6），B（8，0）；

（2）過點(diǎn)E作EG⊥AB，垂足為G（如圖1所示），
∵AE平分∠BAO，EO⊥AO，EG⊥AG，
∴EG=OE，
在Rt△AOE和Rt△AGE中，

AE=AE EO=EG

，
∴Rt△AOE≌Rt△AGE（HL），
∴AG=AO，
設(shè)OE=EG=x，則有BE=8-x，BG=AB-AG=10-6=4，
在Rt△BEG中，EG=x，BG=4，BE=8-x，
根據(jù)勾股定理得：x²+4²=（8-x）²，
解得：x=3，
∴E（3，0），
設(shè)直線AE的表達(dá)式為y=kx+b（k≠0），
將A（0，6），E（3，0）代入y=kx+b得：

b=6 3k+b=0

，
解得：

b=6 k=-2

，
則直線AE的表達(dá)式為y=-2x+6；

（3）延長(zhǎng)BF交y軸于點(diǎn)K（如圖2所示），
∵AE平分∠BAO，
∴∠KAF=∠BAF，
又BF⊥AE，
∴∠AFK=∠AFB=90°，
在△AFK和△AFB中，
∵

∠KAF=∠BAF AF=AF ∠AFK=∠AFB

，
∴△AFK≌△AFB，
∴FK=FB，即F為KB的中點(diǎn)，
又∵△BOK為直角三角形，
∴OF=

1

2

BK=BF，
∴△OFB為等腰三角形，
過點(diǎn)F作FH⊥OB，垂足為H（如圖2所示），
∵OF=BF，F(xiàn)H⊥OB，
∴OH=BH=4，
∴F點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，
設(shè)F（4，y），將F（4，y）代入y=-2x+6，得：y=-2，
∴FH=|-2|=2，
則S_△OBF=

1

2

OB•FH=

1

2

×8×2=8；

（4）在Rt△AOE中，OE=x，OA=6，
根據(jù)勾股定理得：AE=

OE2+OA2

=

x2+36

，
又BE=OB-OE=8-x，S_△ABE=

1

2

AE•BF=

1

2

BE•AO（等積法），
∴BF=

BE•AO

AE

=

6(8-x)

x2+36

（0＜x＜8），又BF=y，
則y=

6(8-x)

x2+36

（0＜x＜8）．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：全等三角形的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)法確定一次函數(shù)解析式，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，以及三角形面積的求法，利用了轉(zhuǎn)化及數(shù)形結(jié)合的思想，是一道較難的壓軸題．