Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，Rt△ABC的頂點C在第一象限，頂點A、B的坐標分別為（1，0），（4，0），∠CAB=90°，BC=5．拋物線y=+bx+c與邊AC，y軸的交點的縱坐標分別為3，．

（1）求拋物線y=+bx+c對應的函數(shù)關(guān)系式；

（2）若將拋物線y=+bx+c經(jīng)過平移后的拋物線的頂點是邊BC的中點，寫出平移過程；

（3）若拋物線y=+bx+c平移后得到的拋物線y=+k經(jīng)過（﹣5，y1），（3，y2）兩點，當y1＞y2＞k時，直接寫出h的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）y=+x+；（2）將y=（x+1）2+1向右平移3.5個單位長度，再向上平移1個單位長度后得到拋物線的頂點是邊BC的中點；（3）h的取值范圍為h＞﹣1且h≠3

【解析】

（1）根據(jù)拋物線y=x2+bx+c與邊AC，y軸的交點的縱坐標分別為3，，可得拋物線y=x2+bx+c過點（1，3），（0，），根據(jù)待定系數(shù)法可求拋物線y=x2+bx+c對應的函數(shù)關(guān)系式；

（2）根據(jù)勾股定理可求AC的長，可得C點坐標，進一步得到BC中點的坐標為（2.5，2），將y=x2+x+配方得y=（x+1）2+1，依此即可寫出平移過程；

（3）先求出拋物線y=x2+x+=（x+1）2+1的對稱軸為x=-1，可得h的取值范圍．

（1）∵拋物線y=+bx+c與邊AC，y軸的交點的縱坐標分別為3，．

∴拋物線y=+bx+c過點（1，3），（0，），

把點（1，3），（0，）代入y=+bx+c得．

∴，

∴拋物線y=+bx+c對應的函數(shù)關(guān)系式為：y=+x+；

（2）在Rt△ABC中，∵∠CAB=90°，AB=4﹣1=3，BC=5，

∴AC=，

∴C（1，4），

∴BC中點的坐標為（2.5，2），

將y=+x+配方得，y=（x+1）2+1，

∴將y=（x+1）2+1向右平移3.5個單位長度，再向上平移1個單位長度后得到拋物線的頂點是邊BC的中點；

（3）∵拋物線y=+x+=（x+1）2+1的對稱軸為x=﹣1，拋物線y=+bx+c平移后得到的拋物線y=+k經(jīng)過（﹣5，y1），（3，y2）兩點，

∴h的取值范圍為h＞﹣1且h≠3．