Question

4．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D為AB的中點，AE∥CD，CE∥AB，連接DE交AC于點O．
（1）證明：四邊形ADCE為菱形；
（2）證明：DE=BC．
（3）若∠B=60°，BC=6，求菱形ADCE的高（計算結(jié)果保留根號）

Answer 1

分析 （1）先證明四邊形ADCE是平行四邊形，再由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出CD=$\frac{1}{2}$AB=AD，即可得出四邊形ADCE為菱形；
（2）由菱形的性質(zhì)得出AC⊥DE，證出DE∥BC，再由CE∥AB，證出四邊形BCED是平行四邊形，即可得出結(jié)論；
（3）過點D作DF⊥CE，垂足為點F；先證明△BCD是等邊三角形，得出∠BDC=∠BCD=60°，CD=BC=6，再由平行線的性質(zhì)得出∠DCE=∠BDC=60°，在Rt△CDF中，由三角函數(shù)求出DF即可．

解答 （1）證明：∵AE∥CD，CE∥AB，
∴四邊形ADCE是平行四邊形，
∵∠ACB=90°，D為AB的中點，
∴CD=$\frac{1}{2}$AB=AD，
∴四邊形ADCE為菱形；
（2）證明：∵四邊形ADCE為菱形，
∴AC⊥DE，
∵∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，
∴DE∥BC，
又∵CE∥AB，
∴四邊形BCED是平行四邊形，
∴DE=BC；
（3）過點D作DF⊥CE，垂足為點F，如圖所示：
DF即為菱形ADCE的高，
∵∠B=60°，CD=BD，
∴△BCD是等邊三角形，
∴∠BDC=∠BCD=60°，CD=BC=6，
∵CE∥AB，
∴∠DCE=∠BDC=60°，
又∵CD=BC=6，
∴在Rt△CDF中，DF=CDsin60°=6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了平行四邊形的判定、菱形的判定、等邊三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、三角函數(shù)；熟練掌握直角三角形的性質(zhì)，并能進行推理論證與計算是解決問題的關鍵．