Question

如圖，點(diǎn)P、Q是直線y1=

1

2

x+2與雙曲線y2=

k

x

在第一三象限內(nèi)的交點(diǎn)，直線y1=

1

2

x+2與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為A、C，過P作PB垂直于x軸，若AB+PB=15，Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)是-10．
（1）求k的值；
（2）求△POQ的面積；
（3）當(dāng)y₁＞y₂時(shí)自變量x的取值范圍是

-10＜x＜0或x＞6

（直接寫出結(jié)果）．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)一次函數(shù)的解析式求出A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)P在一次函數(shù)的圖象上設(shè)出P點(diǎn)及B點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)AB+PB=15求出P點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出反比例函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)P、A、B三點(diǎn)坐標(biāo)即可求出△ABP的面積及△ABC的面積．二者之差即為△PBC的面積；
（3）利用交點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)即可得出y₁＞y₂時(shí)自變量x的取值范圍．

解答：解：（1）∵A、C為直線y₁=

1

2

x+2與x軸、y軸的交點(diǎn)，
∴A（-4，0），C（0，2），
設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為（x，0），
∵P是一次函數(shù)y₁=

1

2

x+2上的點(diǎn)，PB垂直于x軸，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，

1

2

x+2），
∴AB+PB=|OA|+|OB|+|PB|=4+x+

1

2

x+2=

3

2

x+6，
∵AB+PB=15，
∴

3

2

x+6=15，解得，x=6，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（6，5），
∵P在雙曲線y₂=

k

x

上，
∴k=6×5=30；

（2）∵y=

1

2

x+2，
∴當(dāng)x=-10時(shí)，y=

1

2

×（-10）+2=-3，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-10，-3）．
∴S_△POQ=S_△AOP+S_△AOQ=

1

2

×4×5+

1

2

×4×3=16，
即△POQ的面積為16；

（3）∵點(diǎn)P、Q是直線y₁=

1

2

x+2與雙曲線y₂=

30

x

的交點(diǎn)，
而P（6，5），Q（-10，-3），
∴當(dāng)y₁＞y₂時(shí)自變量x的取值范圍是-10＜x＜0或x＞6．
故答案為-10＜x＜0或x＞6．

點(diǎn)評：本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，比較函數(shù)值的大小，三角形的面積等知識(shí)，具有一定的綜合性，難度適中，利用數(shù)形結(jié)合思想是解題的重點(diǎn)．