Question

如圖，經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（0，﹣4）的拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸相交于A（﹣2，0），B兩點(diǎn)．

（1）a　　　　　　0，b²﹣4ac　　　　　　0（填“＞”或“＜”）；

（2）若該拋物線關(guān)于直線x=2對(duì)稱(chēng)，求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（3）在（2）的條件下，連接AC，E是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作AC的平行線交x軸于點(diǎn)F．是否存在這樣的點(diǎn)E，使得以A，C，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)所組成的四邊形是平行四邊形？若存在，求出滿(mǎn)足條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

　

 

Answer 1

       解：（1）a＞0，b²﹣4ac＞0；

（2）∵直線x=2是對(duì)稱(chēng)軸，A（﹣2，0），

∴B（6，0），

∵點(diǎn)C（0，﹣4），將A，B，C的坐標(biāo)分別代入y=ax²+bx+c，

解得：a=，b=﹣，c=﹣4，

∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=x²﹣x﹣4；

（3）存在，理由為：

（i）假設(shè)存在點(diǎn)E使得以A，C，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)所組成的四邊形是平行四邊形，

過(guò)點(diǎn)C作CE∥x軸，交拋物線于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AC，交x軸于點(diǎn)F，如圖1所示，

則四邊形ACEF即為滿(mǎn)足條件的平行四邊形，

∵拋物線y=x²﹣x﹣4關(guān)于直線x=2對(duì)稱(chēng)，

∴由拋物線的對(duì)稱(chēng)性可知，E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，

又∵OC=4，

∴E的縱坐標(biāo)為﹣4，

∴存在點(diǎn)E（4，﹣4）；

（ii）假設(shè)在拋物線上還存在點(diǎn)E′，使得以A，C，F(xiàn)′，E′為頂點(diǎn)所組成的四邊形是

平行四邊形，過(guò)點(diǎn)E′作E′F′∥AC交x軸于點(diǎn)F′，

則四邊形ACF′E′即為滿(mǎn)足條件的平行四邊形，

∴AC=E′F′，AC∥E′F′，如圖2，過(guò)點(diǎn)E′作E′G⊥x軸于點(diǎn)G，

∵AC∥E′F′，∴∠CAO=∠E′F′G，

又∵∠COA=∠E′GF′=90°，AC=E′F′，∴△CAO≌△E′F′G，

∴E′G=CO=4，∴點(diǎn)E′的縱坐標(biāo)是4，

∴4=x²﹣x﹣4，

解得：x₁=2+2，x₂=2﹣2，

∴點(diǎn)E′的坐標(biāo)為（2+2，4），同理可得點(diǎn)E″的坐標(biāo)為（2﹣2，4）．