Question

如圖，拋物線與x軸交于A（x₁，0），B（x₂，0）兩點(diǎn)，且x₁＞x₂，與y軸交于點(diǎn)C（0，4），其中x₁，x₂是方程x²－2x－8＝0的兩個(gè)根．
【小題1】求這條拋物線的解析式；
【小題2】點(diǎn)P是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PE∥AC，交BC于點(diǎn)E，連接CP，當(dāng)△CPE的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
【小題3】探究：若點(diǎn)Q是拋物線對(duì)稱軸上的點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)Q，使△QBC成為等腰三角形，若存在，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【小題1】∵x²-2x-8="0" ，∴(x-4)(x+2)="0" .∴x₁=4,x₂=-2.
　　       ∴A(4,0) ,B(-2,0)
又∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)A、B、C,設(shè)拋物線解析式為y=ax²+bx+c (a≠0)，
∴ 　　∴
　     ∴所求拋物線的解析式為y＝－x²＋x＋4
【小題2】設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(m,0),過點(diǎn)E作EG⊥x軸于點(diǎn)G.
　　        ∵點(diǎn)B坐標(biāo)為(-2，0)，點(diǎn)A坐標(biāo)(4,0)，
　　        ∴AB=6， BP=m+2.
　　        ∵PE∥AC，
　　        ∴△BPE∽△BAC.
　　        ∴.
　　        ∴.∴EG＝
　　        ∴S_△CPE= S_△CBP- S_△EBP=BP•CO－BP•EG
　　        ∴(m＋2)（4－）.＝－m ²＋m＋[來源:學(xué)|科|網(wǎng)]
　　        ∴ (m－1) ²＋3
　　       又∵-2≤m≤4，
　　        ∴當(dāng)m=1時(shí)，S_△CPE有最大值3.
此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，0).
【小題3】存在Q點(diǎn)，其坐標(biāo)為Q₁(1，1)，Q₂ (1，)，Q_3. (1，－)，
　　        Q_4. (1，4＋)，Q_5. (1，4－)．                              5分

解析