Question

【題目】如圖，點(diǎn)P在以AB為直徑的半圓內(nèi)，連接AP、BP，并延長(zhǎng)分別交半圓于點(diǎn)C、D，連接AD、BC并延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，作直線PF，下列說(shuō)法一定正確的是（ ） ①AC垂直平分BF；②AC平分∠BAF；③FP⊥AB；④BD⊥AF．

A.①③
B.①④
C.②④
D.③④

Answer 1

【答案】D
【解析】證明：①∵AB為直徑， ∴∠ACB=90°，
∴AC垂直BF，但不能得出AC平分BF，
故①錯(cuò)誤，
②如圖1，連結(jié)CD，

∵AB為直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠BDF=90°，
假設(shè)AC平分∠BAF成立，則有DC=BC，
∴在RT△FDB中，DC=BC=FC，
∴AC⊥BF，且平分BF，
∴AC垂直BF，但不能得出AC平分BF，與①中的AC垂直BF，但不能得出AC平分BF相矛盾，
故②錯(cuò)誤，
③如圖2：

∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，∠ADB=90°，
∴D、P、C、F四點(diǎn)共圓，
∴∠CFP和∠CDB都對(duì)應(yīng) ，
∴∠CFP=∠CDB，
∵∠CDB=∠CAB，
∴∠CFP=∠CAB，
又∵∠FPC=∠APM，
∴△AMP∽△FCP，
∠ACF=90°，
∴∠AMP=90°，
∴FP⊥AB，
故③正確，
④∵AB為直徑，
∴∠ADB=90°，
∴BD⊥AF．
故④正確，
綜上所述只有③④正確．
故選：D．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了圓周角定理的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握頂點(diǎn)在圓心上的角叫做圓心角;頂點(diǎn)在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個(gè)交點(diǎn)的角叫做圓周角;一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半才能正確解答此題．