Question

已知：關(guān)于x的方程（a-1）x²-（a+1）x+2=0．
（1）a取何整數(shù)值時，關(guān)于x的方程（a-1）x²-（a+1）x+2=0的根都是整數(shù)；
（2）若拋物線y=（a-1）x²-（a+1）x+2=0的對稱軸為x=-1，頂點為M，當k為何值時，一次函數(shù)的圖象必過點M．

Answer 1

解：（1）當a-1=0時，即a=1時，原方程變?yōu)?2x+2=0．方程的解為 x=1；
當a-1≠0時，原方程為一元二次方程（a-1）x²-（a+1）x+2=0．△=b²-4ac=[-（a+1）]²-4（a-1）•2=（a-3）²≥0
，
解得．
∵方程（a-1）x²-（a+1）x+2=0的根都是整數(shù)．
∴只需為整數(shù)
∴當a-1=±1時，即a=2或a=0時，x=1或x=-2；
當a-1=±2時，即a=3或a=-1時，x=1或x=-1；
∴a取0，-1，1，2，3時，方程（a-1）x²-（a+1）x+2=0的根都是整數(shù)．

（2）∵拋物線y=（a-1）x²-（a+1）x+2=0的對稱軸為x=-1，
∴，
∴．
∴頂點坐標為M（-1，）．
把M點坐標代入一次函數(shù)中，則k=4．
故當k=4時，一次函數(shù)的圖象必過點M．
分析：（1）當a=1時，原方程是一元一次方程，可求出方程的解為1，方程的根是整數(shù)，當a≠1，原方程為一元二次方程，首先求出根的判別式△，然后求出方程的兩根，根據(jù)方程的根是整數(shù)求出a的值，
（2）首先根據(jù)拋物線y=（a-1）x²-（a+1）x+2=0的對稱軸為x=-1，求出a的值，然后求出頂點M的坐標，代入解析式求出k的值．
點評：本題主要考查二次函數(shù)的綜合題的知識點，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的圖象性質(zhì)以及對稱軸的特點，此題難度不大．