Question

如圖，直線y=-x+b（b＞0）與雙曲線y=（x＞0）交于A、B兩點，連接OA、OB，AM⊥y軸于M，BN⊥x軸于N；有以下結(jié)論：
①OA=OB
②△AOM≌△BON
③若∠AOB=45°，則S_△AOB=k
④當AB=時，ON-BN=1；
其中結(jié)論正確的個數(shù)為（ ）

A．1
B．2
C．3
D．4

Answer 1

【答案】分析：①②設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立y=-x+b與y=，得x²-bx+k=0，則x₁•x₂=k，又x₁•y₁=k，比較可知x₂=y₁，同理可得x₁=y₂，即ON=OM，AM=BN，可證結(jié)論；
③作OH⊥AB，垂足為H，根據(jù)對稱性可證△OAM≌△OAH≌△OBH≌△OBN，可證S_△AOB=k；
④延長MA，NB交于G點，可證△ABG為等腰直角三角形，當AB=時，GA=GB=1，則ON-BN=GN-BN=GB=1；
解答：解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入y=中，得x₁•y₁=x₂•y₂=k，
聯(lián)立，得x²-bx+k=0，
則x₁•x₂=k，又x₁•y₁=k，
∴x₂=y₁，
同理x₂•y₂=k，
可得x₁=y₂，
∴ON=OM，AM=BN，
∴①OA=OB，②△AOM≌△BON，正確；
③作OH⊥AB，垂足為H，
∵OA=OB，∠AOB=45°，
∵②△AOM≌△BON，正確；
∴∠MOA=∠BON=22.5°，
∠AOH=∠BOH=22.5°，
∴△OAM≌△OAH≌△OBH≌△OBN，
∴S_△AOB=S_△AOH+S_△BOH=S_△AOM+S_△BON=k+k=k，正確；
④延長MA，NB交于G點，
∵NG=OM=ON=MG，BN=AM，
∴GB=GA，
∴△ABG為等腰直角三角形，
當AB=時，GA=GB=1，
∴ON-BN=GN-BN=GB=1，正確．

正確的結(jié)論有4個．
故選D．
點評：本題考查了反比例函數(shù)的綜合運用．關(guān)鍵是明確反比例函數(shù)圖象上點的坐標特點，反比例函數(shù)圖象的對稱性．