Question

 如圖，△ABC是等邊三角形，點D、E分別在BC、AC上，且BD=CE，AD與BE相交于點F．(1)試說明：△ABD≌△BCE． (2)△AEF與△ABE相似嗎?請說明理由．

(3)試說明：BD²=AD·DF．

 

 

Answer 1

【答案】

證明見解析

【解析】（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=BC，∠ABD=∠BCE=∠BAC，

又∵BD=CE，

∴△ABD≌△BCE；

（2）答：相似；

理由如下：

∵△ABD≌△BCE，

∴∠BAD=∠CBE，

∴∠BAC-∠BAD=∠CBA-∠CBE，

∴∠EAF=∠EBA，又∵∠AEF=∠BEA，

∴△EAF∽△EBA．

（3）BD²=AD•DF；

證明：由△ABD≌△BCE，得∠EBC=∠DAB，

又∵∠ADB=∠BDF，

∴△BDF∽△ADB；

∴BD AD =DF BD ，即BD²=AD•DF；

（1）根據等邊三角形各邊長相等和各內角為60°的性質可以求證△ABD≌△BCE；

（2）根據全等三角形對應角相等性質可得∠BAD=∠CBE，進而可以求得∠EAF=∠EBA，即可求證△EAF∽△EBA，

（3）由（1）的△ACD≌△BAE可得出：∠DAC=∠ABE，再加上公共角∠AEF，可根據兩個對應角相等的三角形相似證得．