Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線交軸正半軸于點(diǎn)（1，0）和點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．

（1）如圖1，直線經(jīng)過點(diǎn)、點(diǎn)，求拋物線的解析式；

（2）如圖2，點(diǎn)為該拋物線的頂點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的平行線交拋物線于另一點(diǎn)，該拋物線對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線上有一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的縱坐標(biāo)．

（3）如圖3，在（1）（2）的結(jié)論下，拋物線對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線上有一點(diǎn)，作軸于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為2；（3）點(diǎn)的坐標(biāo)為（，11）．

【解析】

（1）由直線的解析式，先求出點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)A的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可得到答案；

（2）把點(diǎn)A代入，求出n的值，然后得到點(diǎn)C和點(diǎn)E的坐標(biāo)，然后求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)P為（x，），由，即可求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，即可求出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)；

（3）過點(diǎn)P作PI⊥GH于點(diǎn)I，先求出直線PE的解析式，得到PK=2PI，然后設(shè)點(diǎn)G為（m，），表示出GK的長(zhǎng)度，結(jié)合，得到關(guān)于m的一元二次方程，解方程求出m的值，即可得到答案．

解：（1）∵經(jīng)過點(diǎn)、點(diǎn)，

∴令，，

令，，

∴點(diǎn)B為（3，0），點(diǎn)C為（0，3），

設(shè)拋物線的解析式為，

把點(diǎn)A、B、C，三點(diǎn)代入解析式，得：

，解得：，

∴；

（2）∵點(diǎn)A（1，0）在拋物線圖像上，則

，

∴，

∴，

∴頂點(diǎn)E為（2，），

令x=0，則，

∴點(diǎn)C為（0，3），

∵EF垂直平分CD，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，3），點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，3），

∵點(diǎn)P在拋物線上，則設(shè)點(diǎn)P為（x，），

又∵E為（2，），F為（2，3），

∴，，

∵，

∴，

∴，

解得：，

∵點(diǎn)P在對(duì)稱軸右側(cè)，則，

∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，

∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為：

；

（3）如圖：過點(diǎn)P作PI⊥GH于點(diǎn)I，

∵點(diǎn)E（2，），點(diǎn)P為（，2），

∴可求出直線PE的解析式為：，

∴∠KPI=60°，

∵PI⊥GH，

∴∠KIP=90°，∠PKI=30°，

∴PK=2PI，

∵點(diǎn)G在拋物線圖像上，

則設(shè)點(diǎn)G為（m，），

∴點(diǎn)K的坐標(biāo)為（m，）

∴GK=；

∵第P的坐標(biāo)為（，2），

∴點(diǎn)I的坐標(biāo)為（m，），

∴PI=，

∴PK=，

∵，

∴，

解得：，，

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)G與點(diǎn)P、點(diǎn)K重合，

∴；不符合題意，舍去；

∴點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為；

∴點(diǎn)G的縱坐標(biāo)為：，

∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為（，11）．