Question

如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，且DB=DC=AC，已知∠ACE=108°，BC=2．
（1）求∠B的度數(shù)；
（2）我們把有一個(gè)內(nèi)角等于36°的等腰三角形稱為黃金三角形．它的腰長(zhǎng)與底邊長(zhǎng)的比（或者底邊長(zhǎng)與腰長(zhǎng)的比）等于黃金比．
①寫出圖中所有的黃金三角形，選一個(gè)說明理由；
②求AD的長(zhǎng)；
③在直線AB或BC上是否存在點(diǎn)P（點(diǎn)A、B除外），使△PDC是黃金三角形？若存在，在備用圖中畫出點(diǎn)P，簡(jiǎn)要說明畫出點(diǎn)P的方法（不要求證明）；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）∵BD=DC=AC．
則∠B=∠DCB，∠CDA=∠A．
設(shè)∠B=x，則∠DCB=x，∠CDA=∠A=2x．
又∠BOC=108°，
∴∠B+∠A=108°．
∴x+2x=108，x=36°．
∴∠B=36°；

（2）①有三個(gè)：△BDC，△ADC，△BAC．
∵DB=DC，∠B=36°，
∴△DBC是黃金三角形，
（或∵CD=CA，∠ACD=180°-∠CDA-∠A=36°．
∴△CDA是黃金三角形．
或∵∠ACE=108°，
∴∠ACB=72°．又∠A=2x=72°，
∴∠A=∠ACB．
∴BA=BC．
∴△BAC是黃金三角形．
②△BAC是黃金三角形，
∴，
∵BC=2，∴AC=-1．
∵BA=BC=2，BD=AC=-1，
∴AD=BA-BD=2-（-1）=3-，

③存在，有三個(gè)符合條件的點(diǎn)P₁、P₂、P₃．
�。┮訡D為底邊的黃金三角形：作CD的垂直平分線分別交直線AB、BC得到點(diǎn)P₁、P₂．
ⅱ）以CD為腰的黃金三角形：以點(diǎn)C為圓心，CD為半徑作弧與BC的交點(diǎn)為點(diǎn) P₃．
分析：（1）根據(jù)題意設(shè)∠B=x，則∠DCB=x，∠CDA=∠A=2x，列出方程即可得出∠B的度數(shù)；
（2）根據(jù)黃金三角形是一個(gè)等腰三角形，它的頂角為36°，每個(gè)底角為72°．它的腰與它的底成黃金比．當(dāng)?shù)捉潜黄椒謺r(shí)，角平分線分對(duì)邊也成黃金比，并形成兩個(gè)較小的等腰三角形．這兩三角形之一相似于原三角形．依此數(shù)出圖中黃金三角形的個(gè)數(shù)并作出點(diǎn)P．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了黃金三角形的特征．黃金三角形的一個(gè)幾何特征是：它是唯一一種能夠由5個(gè)與其全等的三角形生成其相似三角形的三角形，難度適中．