【題目】(12分)(1)如圖1,在平面直角坐標系中,四邊形OBCD是正方形,且D(0,2),點E是線段OB延長線上一點,M是線段OB上一動點(不包括點O、B),作MN⊥DM,垂足為M,且MN=DM.設OM=a,請你利用基本活動經(jīng)驗直接寫出點N的坐標_____(用含a的代數(shù)式表示);

(2)如果(1)的條件去掉“且MN=DM”,加上“交∠CBE的平分線與點N”,如圖2,求證:MD=MN.如何突破這種定勢,獲得問題的解決,請你寫出你的證明過程.

(3)如圖3,請你繼續(xù)探索:連接DN交BC于點F,連接FM,下列兩個結(jié)論:①FM的長度不變;②MN平分∠FMB,請你指出正確的結(jié)論,并給出證明.

【答案】(1)N(2+a,a);(2)見解析;(3)見解析.

【解析】 (1)如圖1中,作NE⊥OB于E,只要證明△DMO≌△MNE,即可解決問題.

(2)如圖2中,在OD上取OH=OM,連接HM,只要證明△DHM≌△MBN即可.

(3)結(jié)論:MN平分∠FMB成立.如圖3中,在BO延長線上取OA=CF,過M作MP⊥DN于P,因為∠NMB+∠CDF=45°,所以只要證明∠FMN+∠CDF=45°即可解決問題.

解:(1)解:如圖1中,作NE⊥OB于E,

∵∠DMN=90°,

∴∠DMO+∠NME=90°,∠NME+∠MNE=90°,

∴∠DMO=∠MNE,

在△DMO和△MNE中,

∴△DMO≌△MNE,

∴ME=DO=2,NE=OM=a,

∴OE=OM+ME=2+a,

∴點N坐標(2+a,a),

故答案為N(2+a,a).

(2)證明:如圖2中,在OD上取OH=OM,連接HM,

∵OD=OB,OH=OM,

∴HD=MB,∠OHM=∠OMH,

∴∠DHM=180°﹣45°=135°,

∵NB平分∠CBE,

∴∠NBE=45°,

∴∠NBM=180°﹣45°=135°,

∴∠DHM=∠NBM,

∵∠DMN=90°,

∴∠DMO+∠NMB=90°,

∵∠HDM+∠DMO=90°,

∴∠HDM=∠NMB,

在△DHM和△MBN中,

,

∴△DHM≌△MBN(ASA),

∴DM=MN.

(3)結(jié)論:MN平分∠FMB成立.

證明:如圖3中,在BO延長線上取OA=CF,

在△AOD和△FCD中,

∴△DOA≌△DCF,

∴AD=DF,∠ADO=∠CDF,

∵∠MDN=45°,

∴∠CDF+∠ODM=45°,

∴∠ADO+∠ODM=45°,

∴∠ADM=∠FDM,

在△DMA和△DMF中,

,

∴△DMA≌△DMF,

∴∠DFM=∠DAM=∠DFC,

過M作MP⊥DN于P,則∠FMP=∠CDF,

由(2)可知∠NMF+∠FMP=∠PMN=45°,

∴∠NMB=∠MDH,∠MDO+∠CDF=45°,

∴∠NMB=∠NMF,即MN平分∠FMB.

“點睛”本題考查四邊形綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì),解題的關鍵是學會添加輔助線,構(gòu)造全等三角形,記住一些基本圖形,可以使得我們在觀察新問題的時候很迅速地聯(lián)想,屬于中考壓軸題.

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