Question

在矩形ABCD中，AB=3，點(diǎn)P在對(duì)角線AC上，直線l過點(diǎn)P，且與AC垂直交AD邊于點(diǎn)E．
（1）如圖1，若直線l過點(diǎn)B，把△ABE沿直線l翻折，點(diǎn)A與矩形ABCD的對(duì)稱中心O重合，求BC的長(zhǎng)；
（2）如圖2，若直線l與AB相交于點(diǎn)F且AP=

1

4

AC，設(shè)AD的長(zhǎng)為x，五邊形BCDEF的面積為S，
①求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
②探索：是否存在這樣的x，使得以A為圓心，以x-

3

4

長(zhǎng)為半徑的圓與直線l相切？若存在，請(qǐng)求出x的值若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半以及軸對(duì)稱的性質(zhì)得到AC=2AB，進(jìn)而利用勾股定理求解即可．
（2）①五邊形的面積=矩形的面積-S_△AEF，利用相似可求得AE，AF的長(zhǎng)度．
②圓與直線l相切，半徑x-

3

4

應(yīng)等于AO長(zhǎng)．

解答：解：（1）∵O是矩形ABCD的對(duì)稱中心，
∴OB=AO=

1

2

AC（1分）
又∵AB=OB，AB=3，
AC=6，（1分）
在Rt△ABC中BC²=AC²-AB²
∴BC=3

3

．（2分）

（2）①在Rt△ADC中
∵AD=x，AB=3，
∴AC=

x2+9

．（1分）
∵AP=

1

4

x2+9

（1分）
易證△APF∽△ABC，

AP

AB

=

AF

AC

，
AF=

1

12

(x2+9)，（1分）
同理可得 AE=

x2+9

4x

，（1分）
∴S△AEF=

1

2

AE•AF=

(x2+9)2

96x

，
∴S=3x-

(x2+9)2

96x

，
即：S=

-x4+270x2-81

96x

（

3

＜x＜3

3

）．
②若圓A與直線l相切，
則 x-

3

4

=

1

4

x2+9

，（1分）
15x²-24x=0，x₁=0（舍去），x2=

8

5

．（1分）
∵x2=

8

5

＜

3

，
∴不存在這樣的x，使圓A與直線l相切．（1分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了翻折變換的知識(shí)，同時(shí)涉及了矩形和切線的性質(zhì)，注意掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；圓與直線相切，半徑等于圓心到直線的距離．