Question

如圖所示，等腰直角三角形△ABC的直角邊AB=2，點P、Q分別從A、C兩點同時出發(fā)，以相等的速度做直線運動，已知點P沿射線AB運動，點Q沿邊BC的延長線運動，PQ與直線AC相交于點D．
（1）設(shè)AP的長為x，△PCQ的面積為S，求出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．
（2）當AP的長為何值時S_△PCQ=S_△ABC．

Answer 1

分析：（1）由條件可以得出AP=CQ，就有BQ=x+2，PB=2-x或x-2，分兩種情況討論，0≤x≤2，和x＞2時由三角形的面積公式及可以求出結(jié)論；
（2）先求出△ABC的面積，根據(jù)（1）的解析式分別建立方程求出其值即可．

解答：解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=BC=2．
∵P、Q速度相同，
∴AP=CQ=x，
當0≤x≤2時
S=

x(2-x)

2

=-

1

2

x²+x
當x＞2時，
S=

x(x-2)

2

=

1

2

x²-x，
∴S=

- 1 2 x2+x(0≤x≤2) 1 2 x2-x(x＞2)

；
（2）由題意，得
當-

1

2

x²+x=2時，
△＜0，原方程無解；

1

2

x²-x=2時
解得：x₁=1+

5

，x₂=1-

5

（舍去）
∴AP=1+

5

．
答：當AP=1+

5

時，S_△PCQ=S_△ABC．

點評：本題考查了二次函數(shù)的解析式的運用，三角形的面積公式的運用，一元二次方程的解法的運用，解答時求出二次函數(shù)解析式是關(guān)鍵．