Question

（2013•大慶）如圖所示，在直角梯形ABCD中，AB為垂直于底邊的腰，AD=1，BC=2，AB=3，點(diǎn)E為CD上異于C，D的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作AB的垂線，垂足為F，△ADE，△AEB，△BCE的面積分別為S₁，S₂，S₃．
（1）設(shè)AF=x，試用x表示S₁與S₃的乘積S₁S₃，并求S₁S₃的最大值；
（2）設(shè)

AF

FB

=t，試用t表示EF的長(zhǎng)；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)t為何值時(shí)，S22=4S₁S₃．

Answer 1

分析：（1）直接根據(jù)三角形的面積公式解答即可；
（2）作DM⊥BC，垂足為M，DM與EF交與點(diǎn)N，根據(jù)

AF

FB

=t，可知AF=tFB，再由BM=MC=AD=1可得出

NE

MC

=

DN

DM

=

AF

AF+FB

=

tFB

tFB+FB

=

t

t+1

，所以NE=

t

t+1

，根據(jù)EF=FN+NE即可得出結(jié)論；
（3）根據(jù)AB=AF+FB=（t+1）FB=3，可得出FB=

3

t+1

，故可得出AF=tFB=

3t

t+1

，根據(jù)三角形的面積公式可用t表示出S₁，S₃，S₂，由s₂²=4S₁S₃．即可得出t的值．

解答：解：（1）∵S₁=

1

2

AD•AF=

1

2

x，
S₃=

1

2

BC•BF=

1

2

×2×（3-x）=3-x，
∴S₁S₃=

1

2

x（3-x）
=

1

2

（-x²+3x）
=

1

2

[-（x-

3

2

）²+

9

4

]
=-

1

2

（x-

3

2

）²+

9

8

（0＜x＜3），
∴當(dāng)x=

3

2

時(shí)，S₁S₃的最大值為

9

8

；

（2）作DM⊥BC，垂足為M，DM與EF交與點(diǎn)N，
∵

AF

FB

=t，
∴AF=tFB，
∵BM=MC=AD=1，
∴

NE

MC

=

DN

DM

=

AF

AF+FB

=

tFB

tFB+FB

=

t

t+1

，
∴NE=

t

t+1

，
∴EF=FN+NE=1+

t

t+1

=

2t+1

t+1

；

（3）∵AB=AF+FB=（t+1）FB=3，
∴FB=

3

t+1

，
∴AF=tFB=

3t

t+1

，
∴S₁=

1

2

AD•AF=

1

2

×

3t

t+1

=

3t

2(t+1)

，
S₃=

1

2

BC•FB=

1

2

×2×

3

t+1

=

3

t+1

；
S₂=

1

2

AB•FE=

1

2

×3×

2t+1

t+1

=

3(2t+1)

2(t+1)

，
∴S₁S₃=

9t

2(t+1)2

，S₂²=

9(2t+1)2

4(t+1)2

，
∴

9(2t+1)2

4(t+1)2

=4×

9t

2(t+1)2

，即4t²-4t+1=0，解得t=

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是相似形綜合題，熟知三角形的面積公式、二次函數(shù)的最值問(wèn)題等相關(guān)知識(shí)是解答此題的關(guān)鍵．