Question

已知：在四邊形ABCD中，AB=1，E、F、G、H分別時(shí)AB、BC、CD、DA上的點(diǎn)，且AE=BF=CG=DH．設(shè)四邊形EFGH的面積為S，AE=x（0≤x≤1）．
（1）如圖①，當(dāng)四邊形ABCD為正方形時(shí)，
①求S關(guān)于x的函數(shù)解析式，并求S的最小值S₀；
②在圖②中畫出①中函數(shù)的草圖，并估計(jì)S=0.6時(shí)x的近似值（精確到0.01）；
（2）如圖③，當(dāng)四邊形ABCD為菱形，且∠A=30°時(shí)，四邊形EFGH的面積是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）①四邊形ABCD為正方形，易得四邊形EFGH為正方形，那么面積S=HE²，可求得二次函數(shù)的最值；②看二次函數(shù)上y=0.6時(shí)對(duì)應(yīng)的x的值即可．
（2）易得△AEH≌△CGF，△EBF≌△GDH．那么四邊形EFGH的面積=菱形ABCD的面積-2（S_△AHE+S_△EBF）利用30°的三角函數(shù)值求得兩三角形邊上的高即可求解．

解答：解：（1）①在Rt△AEH中，AE=x，AH=1-x，
則S=HE²=x²+（1-x）²
=2x²-2x+1=2（x-

1

2

）²+

1

2

∴當(dāng)x=

1

2

時(shí)，S₀=

1

2

②列表：

x	0	0.3	0.5	0.7	1
S		0.58	0.5	0.58	0

在直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)、畫圖（圖2中粗線）．
（注：作圖時(shí)，不列對(duì)應(yīng)值表不扣分）
觀察函數(shù)的圖象，可知當(dāng)S=0.6時(shí)，x≈0.27和x≈0.73．
驗(yàn)證：當(dāng)x=0.27時(shí)，S=0.6029；當(dāng)x=0.28時(shí)，S=0.5984．
從而取x≈0.28．同理取x≈0.72．

（2）四邊形EFGH的面積存在最小值．
理由如下：
由條件，易證△AEH≌△CGF，△EBF≌△GDH
作HM⊥AE于M，作FN⊥EB且FN交EB的延長線于N
∵AE=x，則AH=1-x
又在Rt△AMH中，∠HAM=30°
∴HM=

1

2

AH=

1

2

（1-x）
同理得FN=

1

2

BF=

1

2

x
∴S_△AEH=

1

2

AE•HM=

1

4

x（1-x），S_△EBF=

1

2

EB•FN=

1

4

x（1-x）
又∵S_ABCD=

1

2

∴S=

1

2

-4×

1

4

x（1-x）=x²-x+

1

2

=（x-

1

2

）²+

1

4

∴當(dāng)x=

1

2

時(shí)，四邊形EFGH的面積存在最小值

1

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查特殊四邊形與二次函數(shù)的綜合應(yīng)用．注意二次函數(shù)中一個(gè)y值有可能對(duì)應(yīng)兩個(gè)x值．