Question

如圖1，若四邊形ABCD、GFED都是正方形，顯然圖中有AG=CE，AG⊥CE．
（1）當(dāng)正方形GFED繞D旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置時(shí)，AG=CE是否成立？若成立，請(qǐng)給出證明，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）當(dāng)正方形GFED繞D旋轉(zhuǎn)到B，D，G在一條直線（如圖3）上時(shí)，連結(jié)CE，設(shè)CE分別交AG、AD于P、H．
 ①求證：AG⊥CE；
 ②如果，AD=2

5

，DG=

10

，求CE的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）利用正方形性質(zhì)以及全等三角形的判定的很粗△AGD≌△CED（SAS）即可得出答案；
（2）①根據(jù)（1）得出∠1=∠2，再利用∠3=∠4，∠4+∠2=90°，可得出∠3+∠1=90°，進(jìn)而得出答案；
②利用等腰直角三角形的性質(zhì)可得出MD=MG=

5

，進(jìn)而利用勾股定理求出CE的長(zhǎng)．

解答：（1）解：AG=CE成立．
理由：∵四邊形ABCD、四邊形DEFG是正方形，
∴GD=DE，AD=DC，
∠GDE=∠ADC=90°，
∴∠GDA=90°-∠ADE=∠EDC，
在△AGD和△CED中，

DG=DE ∠GDA=∠EDC DA=DC

∴△AGD≌△CED（SAS），
∴AG=CE；

（2）證明：①由（1）可知△AGD≌△CED，
∴∠1=∠2，
∵∠3=∠4，∠4+∠2=90°，
∴∠3+∠1=90°，
∴∠APH=90°，
∴AG⊥CH；

②解：過(guò)G作GM⊥AD于M．
∵BD是正方形ABCD的對(duì)角線，
∴∠ADB=∠GDM=45°，
∴∠DGM=45°，
∵DG=

10

，
∴MD=MG=

5

，
在Rt△AMG中，由勾股定理，得
∴CE=AG=5

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了正方形的性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練利用正方形性質(zhì)得出相等線段和角是解題關(guān)鍵．