Question

【題目】已知：如圖,在Rt△ABO中,∠B=90°,∠OAB=30°,OA=3.以點O為原點,斜邊OA所在直線為x軸,建立平面直角坐標系,以點P(4,0)為圓心,PA長為半徑畫圓,⊙P與x軸的另一交點為N,點M在⊙P上,且滿足∠MPN=60°.⊙P以每秒1個單位長度的速度沿x軸向左運動，設運動時間為ts，解答下列問題：

(1)運動過程中當點A在⊙P內時，t的取值范圍是 ；

(2)當⊙P和△ABO的邊相切時，求點P的坐標；

(3)當弧MN與Rt△ABO的邊有兩個交點時，請你直接寫出t的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）0<t<2；（2）（1,0）（，0）；（3）2＜t≤3，4≤t＜5.

【解析】

（1）根據題意，當2<OP<4時，點A在⊙P內，從而求t的取值范圍；

（2）分圓和直線AB和直線OB相切，利用三角函數即可得出結論；

（3）先找出和直角三角形的兩邊有兩個交點時的分界點，即可得出結論．

解：（1）∵OA=3，P(4,0)

∴OP=4，AP=1

又∵⊙P以每秒1個單位長度的速度沿x軸向左運動

∴當2<OP<4時，點A在⊙P內，設運動時間為ts，

∴OP=4-t

∴2<4-t<4

解得：0<t<2；

（2）①如圖2，當⊙P與直線AB相切于點C時

連接PC，則有PC⊥AB，PC=r=1，

∵∠OAB=30°，

∴AP=2，

∴OP=OA-AP=3-2=1；

∴點P的坐標為（1，0）；

②如圖3，當⊙P與直線OB相切于點D時，

連接PD，則有PD⊥OB，PD=r=1，

∴PD∥AB，

∴∠OPD=∠OAB=30°，

∴cos∠OPD= ，

∴OP= ，

∴點P的坐標為

綜上所述，P點坐標為（1，0）；；

（3） t的取值范圍是2＜t≤3，4≤t＜5，

理由：如圖5，當點N運動到與點A重合時，

與Rt△ABO的邊有一個公共點，

此時t=2；

當t＞2，直到⊙P運動到與AB相切時，

由探究①得，OP=1，

∴，

與Rt△ABO的邊有兩個公共點，

∴2＜t≤3．

如圖6，當⊙P運動到PM與OB重合時，

與Rt△ABO的邊有兩個公共點，

此時t=4；

直到⊙P運動到點N與點O重合時，

與Rt△ABO的邊有一個公共點，

此時t=5；

∴4≤t＜5，

即：t的取值范圍是2＜t≤3，4≤t＜5，