Question

（11·珠海）（本題滿分9分）如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，

AD＝AB＝1，BC＝2．將點A折疊到CD邊上，記折疊后A點對應的點為P（P與D點不重

合），折痕EF只與邊AD、BC相交，交點分別為E、F．過點P作PN∥BC交AB于N、交

EF于M，連結PA、PE、AM，EF與PA相交于O．

（1）指出四邊形PEAM的形狀（不需證明）；

（2）記∠EPM＝a，△AOM、△AMN的面積分別為S₁、S₂．

 

Answer 1

【答案】

（1）四邊形AMPE為菱形                             ……………………2分

（2）證明：∵四邊形AMPE為平行四邊形， EPM＝a

∴∠MAP＝a    S₁＝OA·OM．                        ……………………4分

∵在Rt△OM中，tan＝，∴OM＝OA·tan．

＝＝OA·OM×＝OA²＝×(PA)²＝PA²．……………………5分

（3）過D作DH垂直于BC于H，交NP于點K，

則：DK⊥PN，BH＝AB＝AD＝DH＝1，DK＝AN＝x．

∵CH＝BC－BH＝2－1＝1，

∴CH＝DH．

∴∠NPD＝∠BCD＝45°．

∴PK＝DK＝x．

∴PN＝1＋x．

在Rt△ANP中，

AP²＝AN ²＋PN ²＝x²＋(1＋x)²＝2x²＋2x＋1．              ……………………6分

過E作PM的垂線EG（垂足為G），令△EGM的面積為S．

∵△EGM∽△AOM，

∴＝()²＝＝．

則S＝ S₁．

∵四邊形ANGE的面積等于菱形AMPE的面積，

∴2S₁＝S₂＋S．

∴S₁－S₂＝S－S₁＝ S₁－S₁＝(－1)S₁．

∴y＝＝(－1)×

＝(－1)× PA²＝ (4x²－AP²)．

∴y＝x²－x－．

 

【解析】略