Question

如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，正方形OABC的邊長(zhǎng)為2cm，點(diǎn)A、C分別在y軸的負(fù)半軸和x軸的正半軸上，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B和D.

（1）求拋物線的解析式.  

（2）如果點(diǎn)P由點(diǎn)A出發(fā)沿AB邊以2cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同

時(shí)點(diǎn)Q由點(diǎn)B出發(fā)沿BC邊以1cm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng). 設(shè)S=PQ²(cm²)

①試求出S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍；

②當(dāng)S取時(shí)，在拋物線上是否存在點(diǎn)R，使得以P、B、Q、R為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?  如果存在，求出R點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 

（3）在拋物線的對(duì)稱軸上求點(diǎn)M，使得M到D、A的距離之差最大，求出點(diǎn)M的坐標(biāo).

 

Answer 1

解: (1)據(jù)題意知: A(0, －2), B(2, －2) ，D（4，—）, 

則                                  解得                    

     ∴拋物線的解析式為:  

                                         

  (2) ①由圖象知: PB=2－2t, BQ= t, ∴S=PQ²=PB²+BQ²=(2－2t)² + t² ,

即 S=5t²－8t+4 (0≤t≤1)   

②假設(shè)存在點(diǎn)R, 可構(gòu)成以P、B、R、Q為頂點(diǎn)的平行四邊形.

∵S=5t²－8t+4 (0≤t≤1),  ∴當(dāng)S=時(shí),  5t²－8t+4=,得 20t²－32t+11=0,

解得 t = ，t = （不合題意，舍去）

此時(shí)點(diǎn) P的坐標(biāo)為（1，-2），Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，—）

若R點(diǎn)存在，分情況討論:

【A】假設(shè)R在BQ的右邊, 這時(shí)QRPB, 則，R的橫坐標(biāo)為3, R的縱坐標(biāo)為—

 即R (3, －)，代入, 左右兩邊相等，∴這時(shí)存在R(3, －)滿足題意.

【B】假設(shè)R在BQ的左邊, 這時(shí)PRQB, 則：R的橫坐標(biāo)為1, 縱坐標(biāo)為－即(1, －)  代入, 左右兩邊不相等, R不在拋物線上.

【C】假設(shè)R在PB的下方, 這時(shí)PRQB, 則：R(1，—)代入,

 左右不相等, ∴R不在拋物線上.     綜上所述, 存點(diǎn)一點(diǎn)R(3, －)滿足題意.

（3）∵A關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為B,過(guò)B、D的直線與拋物線的對(duì)稱軸的交點(diǎn)為所求M，M的坐標(biāo)為（1，—）-