Question

已知P（m，a）是拋物線y=ax²上的點，且點P在第一象限．
（1）求m的值
（2）直線y=kx+b過點P，交x軸的正半軸于點A，交拋物線于另一點M．
①當b=2a時，∠OPA=90°是否成立？如果成立，請證明；如果不成立，舉出一個反例說明；
②當b=4時，記△MOA的面積為S，求的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）將P點坐標代入拋物線的解析式中即可求出m的值（要注意P點在第一象限的判定條件）．
（2）①先將P點坐標代入直線的解析式中，根據b=2a的條件可用a表示出直線AM的斜率．然后根據P點坐標求出直線OP的斜率，由于OP⊥AM，因此直線OP與直線AM的斜率的積為-1，由此可求出a的值．因此本題的就結論應該是成立的．
②求三角形MOA的面積，可以OA為底，以M點縱坐標為高，將b=4代入直線AM的解析式中，用a替換掉斜率k，然后求出A點的坐標；然后聯立拋物線的解析式求出M點的坐標，即可用三角形面積公式求出S的表達式，即可得出與a的函數關系式，根據函數的性質即可求出其最大值．
解答：解：（1）m²a=a（a＞0），
m²=1（m＞0），
即m=1；


（2）①b=2a，y=kx+2a，
P在直線上，則a=k+2a，即a=-k（k＜0）
則kx+2a=0，即x=-=2，
A（2，0）
-kx²=kx-2k?x²+x-2=0?（x+2）（x-1）=0，x=-2或x=1
M（-2，4a）
∠OPA=90°
即a²=1，a=1
k=-1，y=-x-2，y=x²
P（1，1）
故當a=1時，∠OPA=90°成立，即當a＞0且a≠1時，∠OPA=90°不成立；

②當b=4時，直線y=kx+b即為直線y=kx+4，
kx+4=0?x=-
又∵直線y=kx+4過點P（1，a），
∴k+4=a?k=a-4，
（a-4）x+4=ax²
即ax²-（a-4）x-4=0
即（ax+4）（x-1）=0
∴S=••=
=a-a²=-（a-2）²+，
∴當a=2時，_max=．
點評：本題考查的是二次函數的綜合運算能力．