Question

17．如圖，直線m過正方形ABCD的頂點A，過點D、B分別作m的垂線，垂足分別為點E、F．
（1）求證：△ADE≌△BAF；
（2）EF與DE、BF有怎樣的數(shù)量關系？并證明你的結論；
（3）若A為EF的中點，四邊形EFBD是什么特殊四邊形？請證明．

Answer 1

分析 （1）根據正方形的性質就可以得出AB=AD，∠BAD=90°，再根據余角的性質就可以得出∠EDA=∠BAF，從而根據AAS可以證明△ADE≌△BAF；
（2）①由△ADE≌△BAF得出AE=BF，ED=FA就可以得出結論；②同①的方法得到結論EF=AE-CF；
（3）由（2）①AE=BF，ED=FA，從而得出DE=BF，再判斷出DE∥BF，得出四邊形EFBD是平行四邊形，最后由∠DEA=90°，得出結論．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°．
∵DE⊥直線m、BF⊥直線m，
∴∠DEA=∠AFB=90°，
∴∠ADE+∠DAE=90°，
∵∠DAE+∠BAF=180°-∠ABAD=180°-90°=90°，
∴∠EDA=∠BAF（同角的余角相等）．
在△DEA與△AFB中
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠DEA=∠AFB}\\{∠EDA=∠BAF}\\{AD=AB}\end{array}\right.$
∴△DEA與△AFB（AAS），
（2）①B、D兩頂點在直線m同側
由（1）有，△DEA與△AFB
∴DE=AF，AE=BF （全等三角形的對應邊相等）．
∵EF=AE+AF，
∴EF=DE+BF（等量代換）
②當B、D兩頂點在直線m的兩側時（如圖2），

結論：EF=AE-CF 
理由：同（1）的方法得到，△DEA與△AFB（AAS），
∴DE=AF，AE=BF （全等三角形的對應邊相等）．
∵EF=AF-AE，
∴EF=DE-BF（等量代換）
（3）結論：四邊形EFBD是矩形，
∵A為EF的中點，
∴B、D兩頂點在直線m同側
如圖3，

由（2）①得到，DE=AF，AE=BF，
∵點A為EF的中點，
∴AE=AF，
∴DE=BF，
∵DE⊥直線m、BF⊥直線m，
∴DE=BF，
∴四邊形EFBD是平行四邊形，
由（1）∠DEA=90°，
∴平行四邊形EFBD是矩形．

點評 此題是三角形綜合題，主要考查了正方形的性質的運用，全等三角形的判定與性質的運用，余角的性質的運用，垂直的性質的運用，矩形的判定，解答本題是證明三角形全等利用性質解題是關鍵．