Question

如圖1，在△OAB和△OCD中，∠A＜90°，OB=kOD（k＞1），∠AOB=∠COD，∠OAB與∠OCD互補(bǔ)．試探索線段AB與CD的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
說明：如果你反復(fù)探索沒有解決問題，可以選取（1）（2）中的一個條件，（1）k=1（如圖2）；（2）C在OA上，點(diǎn)D與點(diǎn)B重合（如圖3）．

Answer 1

分析：在OA上取一點(diǎn)E，使OE=kOC，連接EB．由

OB

OD

=

OE

OC

=k，∠AOB=∠COD，根據(jù)兩邊對應(yīng)成比例，且夾角相等的兩三角形相似，得出△OEB∽△OCD，則EB=kCD，∠OEB=∠OCD，再由已知條件∠OAB與∠OCD互補(bǔ)，證出∠OAB=∠AEB，得出EB=AB，從而有AB=kCD．
如果反復(fù)探索沒有解決問題，選取（1）k=1．在OA上取一點(diǎn)E，使OE=OC，連接EB．由SAS可證△OEB≌△OCD，得出EB=CD，∠OEB=∠OCD，再由已知條件∠OAB與∠OCD互補(bǔ)，證出∠OAB=∠AEB，得出EB=AB，從而有AB=CD．
如果反復(fù)探索沒有解決問題，選取（2），C在OA上，點(diǎn)D與點(diǎn)B重合．則由已知條件∠OAB與∠OCD互補(bǔ)，又∠ACB與∠OCD互補(bǔ)，得出∠OAB=∠ACB，進(jìn)而得出AB=CD．

解答：解：結(jié)論是AB=kCD．理由如下：（1分）
在OA上取一點(diǎn)E，使OE=kOC，連接EB．（2分）
∵OB=kOD，
∴

OB

OD

=

OE

OC

=k（3分）
∵∠AOB=∠COD
∴△OEB∽△OCD（4分）
∴

EB

CD

=

OB

OD

=k，即EB=kCD
∠OEB=∠OCD（6分）
∵∠OAB+∠OCD=180°，
∴∠OAB+∠OEB=180°，
∵∠AEB+∠OEB=180°，
∴∠OAB=∠AEB，（7分）
∴EB=AB，（8分）
∴AB=kCD．（9分）

選擇（1）
結(jié)論：AB=CD（1分）
證明：在OA上取一點(diǎn)E，使OE=OC，連接EB．（2分）
∵OB=OD，∠AOB=∠COD，
∴△OEB≌△OCD，（3分）
∴EB=CD，∠OEB=∠OCD，（4分）
∵∠OAB+∠OCD=180°，
∴∠OAB+∠OEB=180°，
∵∠AEB+∠OEB=180°，
∴∠OAB=∠AEB，（5分）
∴EB=AB．（6分）
∴AB=CD（7分）

選擇（2）
結(jié)論：AB=CD（1分）
證明：∵∠OAB+∠OCB=180°，
∵∠ACB+∠OCB=180°，
∴∠OAB=∠ACB，（2分）
∴CB=AB，
即AB=CD．（3分）

點(diǎn)評：本題主要考查了相似三角形的判定．能夠結(jié)合已知條件及所學(xué)定理，正確地作出輔助線是解決本題的關(guān)鍵．