Question

如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)E在BC上，AE=BE，且AF⊥AB，連接EF．
（1）若EF⊥AF，AF=4，AB=6，求 AE的長．
（2）若點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，求證：CE=BE-AD．

Answer 1

解：（1）作EM⊥AB，交AB于點(diǎn)M．∵AE=BE，EM⊥AB，
∴AM=BM=×6=3；
∵EF⊥AF，
∴∠AME=∠MAF=∠AFE=90°，
∴四邊形AMEF是矩形，
∴EF=AM=3；
在Rt△AFE中，AE==5；

（2）延長AF、BC交于點(diǎn)N．
∵AD∥EN，
∴∠DAF=∠N；
∵F是CD的中點(diǎn)，
∴DF=FC，
∵∠AFD=∠NFC，∴△ADF≌△NCF（AAS），
∴AD=CN；
∵∠B+∠N=90°，∠BAE+∠EAN=90°，
又AE=BE，∠B=∠BAE，
∴∠N=∠EAN，AE=EN，
∴BE=EN=EC+CN=EC+AD，
∴CE=BE-AD．
分析：（1）作輔助線EM⊥AB，交AB于點(diǎn)M．由已知條件“AE=BE，EM⊥AB”知，EM是等腰三角形AEB底邊AB上的高線，所以AM=3，然后根據(jù)矩形的判定定理判定四邊形AMEF是矩形，再由勾股定理在Rt△AFE中求得AE=5；
（2）延長AE、BC交于點(diǎn)N．根據(jù)△ADF≌△NCF（AAS）的對應(yīng)邊相等知AD=CN；又∠B+∠N=90°，∠BAE+∠AEN=90°，AE=BE，∠B=∠BAE，所以AE=EN，所以知BE=EN=EC+CN=EC+AD，即CE=BE-AD．
點(diǎn)評：本題綜合考查了梯形、全等三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)及勾股定理．本題主要是通過作輔助線來構(gòu)建矩形與全等三角形的．