【題目】如圖,已知正方形ABCD的邊長是5,點O在AD上,且⊙O的直徑是4.
(1)正方形的對角線BD與半圓O交于點F,求陰影部分的面積;
(2)利用圖判斷,半圓O與AC有沒有公共點,說明理由.(提示:≈1.41)
(3)將半圓O以點E為中心,順時針方向旋轉(zhuǎn).
①旋轉(zhuǎn)過程中,△BOC的最小面積是 ;
②當半圓O過點A時,半圓O位于正方形以外部分的面積是 .
【答案】(1)π﹣2;(2)半圓O與AC沒有公共點.理由見解析;(3)① ;②2π﹣ .
【解析】
(1)連接OF,如圖1,先證明△ODF為等腰直角三角形得到∠DOF=90°,如何根據(jù)扇形面積公式,利用S陰影部分=S扇形DOF-S△DOF進行計算;
(2)如圖2,作OH⊥AC于H,先證明△OAH為等腰直角三角形,則OH=OA≈2.13,然后比較OH與半徑的大小關(guān)系可判斷半圓O與AC的位置關(guān)系;
(3)①如圖3,作EM⊥BC于M,當點O到BC的距離最小,此時△ABC的面積最小,易得點O到BC的最小距離為3,然后根據(jù)三角形面積公式計算;
②當半圓O過點A時,根據(jù)圓周角定理的推論可判定點D落在AB上的點D′處,如圖4,利用勾股定理計算出AD′=,然后利用半圓面積減去△AED′的面積即可得到半圓O位于正方形以外部分的面積.
(1)連接OF,如圖1,
∵四邊形ABCD為正方形,
∴∠ADB=45°,
∵OF=OD,
∴△ODF為等腰直角三角形,
∴∠DOF=90°,
∴S陰影部分=S扇形DOF﹣S△DOF=﹣×2×2=π﹣2;
(2)半圓O與AC沒有公共點.理由如下:
如圖2,作OH⊥AC于H,
∵四邊形ABCD為正方形,
∴∠DAC=45°,
∴△OAH為等腰直角三角形,
∴OH=OA=×3≈2.13,
∵OH>2,
∴AC與半圓O相離,
即半圓O與AC沒有公共點;
(3)①如圖3,作EM⊥BC于M,
當點O落在EM上的O′處時,點O到BC的距離最小,此時△ABC的面積最小,
所以△BOC的最小面積=×5×(5﹣2)=;
②當半圓O過點A時,即點A在半圓上,而∠A=90°,
所以點D落在AB上的點D′處,如圖4,
在Rt△AED′中,AD′===,
所以半圓O位于正方形以外部分的面積=π22﹣
故答案為;2π﹣.
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【題目】已知一個二次函數(shù)圖象上部分點的橫坐標x,縱坐標y的對應(yīng)值如表所示:
x | … | ﹣2 | ﹣1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | … |
y | … | 0 | p | m | 3 | q | 0 | … |
(1)求這個二次函數(shù)的表達式;
(2)表格中字母m= ;(直接寫出答案)
(3)在給定的直角坐標系中,畫出這個二次函數(shù)的圖象;
(4)以上二次函數(shù)的圖象與x軸圍成的封閉區(qū)域內(nèi)(不包括邊界),橫、縱坐標都是整數(shù)的點共有 個.(直接寫出結(jié)果)
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【題目】已知:二次函數(shù) 中的和滿足下表:
… | 0 | 1 | 2 | 3 | … | ||
… | 3 | 0 | 0 | m | … |
(1) 觀察上表可求得的值為________;
(2) 試求出這個二次函數(shù)的解析式;
(3) 若點A(n+2,y1),B(n,y2)在該拋物線上,且y1>y2,請直接寫出n的取值范圍.
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【題目】如圖,AB為⊙O的直徑,PD切⊙O于點C,交AB的延長線于點D,且∠D=2∠CAD.
(1)求∠D的度數(shù);
(2)若CD=2,求BD的長.
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【題目】在△ABC中,AB=4cm,BC=8cm,點P從點A開始沿AB邊向點B以1cm/s的速度移動,點Q從點B開始沿BC邊向點C以2cm/s的速度移動,如果P、Q分別從A、B同時出發(fā),經(jīng)幾秒后,點P、B、Q構(gòu)成的三角形△PBQ與△ABC相似?
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【題目】如圖,AB為⊙O的直徑,C為⊙O上一點, AD與過點C的直線互相垂直,垂足為點D,AD交⊙O于點E,AC平分∠DAB,連接CE,CB.
(1)求證:CD是⊙O的切線;
(2)若AC=,CE=,求⊙O的半徑長.
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【題目】已知拋物線y=ax2﹣x+c經(jīng)過A(﹣2,0),B(0,2)兩點,動點P,Q同時從原點出發(fā)均以1個單位/秒的速度運動,動點P沿x軸正方向運動,動點Q沿y軸正方向運動,連接PQ,設(shè)運動時間為t秒
(1)求拋物線的解析式;
(2)當BQ=AP時,求t的值;
(3)隨著點P,Q的運動,拋物線上是否存在點M,使△MPQ為等邊三角形?若存在,請求出t的值及相應(yīng)點M的坐標;若不存在,請說明理由.
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【題目】對于平面直角坐標系xOy中的點P(a,b),若點P′的坐標為(a+kb,ka+b)(其中k為常數(shù),且k≠0),則稱點P′為點P的“k屬派生點”.
如:P(1,4)的“2屬派生點為P′(1+2×4,2×1+4),即P′(9,6);
(1)點P(-1,3)的“2屬派生點”P′的坐標為______;
(2)若點P的“3屬派生點”P′的坐標為(-1,3),則點P的坐標為______.
(3)若點P在x軸的正半軸上,點P的“k屬派生點”為點P′,線段PP′的長度等于線段OP的長度,求k的值.
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