Question

已知：如圖，在△ABC中，BC=AC，以BC為直徑的⊙O與邊AB相交于點D，DE⊥AC，垂足為點E．
（1）求證：點D是AB的中點；
（2）證明：DE是⊙O的切線．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接CD，由BC為直徑可知CD⊥AB，又BC=AC，由等腰三角形的底邊“三線合一”證明結論；
（2）連接OD，則OD為△ABC的中位線，OD∥AC，已知DE⊥AC，可證DE⊥OC，問題得證．
解答：（1）證明：連接CD，
∵BC是圓的直徑，
∴∠BDC=90°，
∴CD⊥AB，
又∵AC=BC，
∴△ABC為等腰三角形，
∴AD=BD，即點D是AB的中點；

（2）證明：連接OD，則DO是△ABC的中位線，
∴DO∥AC，
又∵DE⊥AC，
∴DE⊥DO，
∴DE是⊙O的切線．
點評：本題考查了切線的判定與性質，等腰三角形的性質、平行線的判定和性質，解題的關鍵是連接圓心和切點（有可能是要證明的切點）得垂直（證明垂直）．