△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，把一個(gè)三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)D處，將三角板繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)且使兩條直角邊分別交AB、AC于E、F .

（1）如圖1，觀(guān)察旋轉(zhuǎn)過(guò)程，猜想線(xiàn)段AF與BE的數(shù)量關(guān)系并證明你的結(jié)論；

（2）如圖2，若連接EF，試探索線(xiàn)段BE、EF、FC之間的數(shù)量關(guān)系，直接寫(xiě)出你的結(jié)論（不需證明）；

（3）如圖3，若將“AB=AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)”改為：“∠B=30°，AD⊥BC于點(diǎn)D”，其余條件不變，探索（1）中結(jié)論是否成立？若不成立，請(qǐng)?zhí)剿麝P(guān)于AF、BE的比值.

 

解：（1）結(jié)論：AF=BE. 

證明：連接AD，

∵ AB=AC，∠BAC=90°，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)

∴ AD=BD=DC=BC  ，∠ADB=∠ADC=90°,

∴ ∠B=∠C=∠1=∠2=45°.

∴ ∠3+∠5==90°.

∵ ∠3+∠4==90°,

∴ ∠5=∠4

∵ BD=AD,

∴ △BDE≌△ADF.

∴ BE=AF. 

（2）

（3）（1）中的結(jié)論BE=AF不成立. 

∵ ∠B=30°，AD⊥BC于點(diǎn)D，∠BAC=90°,

∴ ∠3+∠5==90°，  ∠B+∠1==90°.

∵ ∠3+∠4==90°，∠1+∠2==90°    

∴ ∠B=∠2 ，  ∠5=∠4.

∴ △BDE∽△ADF.

∴ .

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

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18、如圖，在△ABC中，∠BAC=60°，BD、CE分別是邊AC，AB上的高，BD、CE相交于點(diǎn)O，則∠BOC的度數(shù)是
120°
．

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3
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．

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93、如圖所示，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BF平分∠ABC，那么△AEF是等腰三角形嗎？

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（2013•達(dá)州）通過(guò)類(lèi)比聯(lián)想、引申拓展研究典型題目，可達(dá)到解一題知一類(lèi)的目的．下面是一個(gè)案例，請(qǐng)補(bǔ)充完整．
原題：如圖1，點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，∠EAF=45°，連接EF，則EF=BE+DF，試說(shuō)明理由．

（1）思路梳理
∵AB=AD，
∴把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合．
∵∠ADC=∠B=90°，
∴∠FDG=180°，點(diǎn)F、D、G共線(xiàn)．
根據(jù)
SAS
SAS
，易證△AFG≌
△AEF
△AEF
，得EF=BE+DF．
（2）類(lèi)比引申
如圖2，四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，∠EAF=45°．若∠B、∠D都不是直角，則當(dāng)∠B與∠D滿(mǎn)足等量關(guān)系
∠B+∠D=180°
∠B+∠D=180°
時(shí)，仍有EF=BE+DF．
（3）聯(lián)想拓展
如圖3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D、E均在邊BC上，且∠DAE=45°．猜想BD、DE、EC應(yīng)滿(mǎn)足的等量關(guān)系，并寫(xiě)出推理過(guò)程．

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