Question

已知關(guān)于x的方程k²x²-（2k+1）x+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x₁、x₂．
（1）求k的最小整數(shù)值；
（2）若（|x₁|-1）（|x₂|-1）=-3k，求k的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)一元二次方程的根的判別式的符號(hào)列出關(guān)于k的不等式（2k+1）²-4k²＞0，且k≠0，通過(guò)解該不等式即可求得k的取值范圍，由此來(lái)確定k的最小整數(shù)值；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系確定x₁x₂、x₁+x₂的符號(hào)，從而去掉絕對(duì)值，列出關(guān)于k的方程3k²+k+2=0，通過(guò)解方程即可求得k的值．

解答：解：（1）∵方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴△＞0，且k≠0，
即（2k+1）²-4k²＞0，
解得k＞-

1

4

，
∵k取最小整數(shù)，
∴k=1；

（2）∵x₁、x₂是方程兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴x₁+x₂=-

b

a

=

2k+1

k2

，x₁x₂=

c

a

=

1

k2

＞0，
∴x₁、x₂同號(hào)，
∴|x₁|•|x₂|=|x₁x₂|，|x₁|+|x₂|=|x₁+x₂|，
∵（|x₁|-1）（|x₂|-1）=-3k，
∴|x₁x₂|-（|x₁|+|x₂|）+1=-3k，
∴

1

k2

-

|2k+1|

k2

+1=-3k，
由（1）知k＞-

1

4

，
則|2k+1|=2k+1，
于是可得3k²+k-2=0，
解得k₁=

2

3

，k₂=-1（不合題意，舍去）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了根與系數(shù)的關(guān)系與根的判別式的知識(shí)．此題比較簡(jiǎn)單，注意掌握根與系數(shù)的關(guān)系：若一元二次方程x²+px+q=0的兩個(gè)根分別是x₁、x₂，則x₁+x₂=-p，x₁•x₂=q．