Question

如圖，拋物線交x軸的正半軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，且OA＝OB．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）若點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，∠PMQ在AB的同側(cè)以 點(diǎn)M為中心旋轉(zhuǎn)，且∠PMQ＝45°，MP交y軸于點(diǎn)C，MQ交x軸于點(diǎn)D. 設(shè)AD＝m（m＞0），BC＝n，求n與m之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）在（2）的條件下，當(dāng)∠PMQ的一邊恰好經(jīng)過該拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，求∠PMQ的另一邊所在直線的解析式．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）；（3）或

【解析】

試題分析：（1）由拋物線得B（0，-4），再結(jié)合OA＝OB，且點(diǎn)A在x軸正半軸上，即可求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，從而求得結(jié)果；

（2）先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠OAB＝∠OBA＝45°，AB=，即得∠ADM+∠AMD＝135°，由∠CMD＝45°可得∠AMD+∠BMC＝135°，證得△ADM∽△BMC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)M為AB的中點(diǎn)可得AM＝BM＝，即可求得所求的函數(shù)關(guān)系式；

（3）由即可求得拋物線與x軸另一個(gè)交點(diǎn)為，由點(diǎn)A、B的坐標(biāo)可求得AB中點(diǎn)M的坐標(biāo)，再分①當(dāng)MP經(jīng)過點(diǎn)（-2，0）時(shí)，②當(dāng)MQ經(jīng)過點(diǎn)（-2，0）時(shí)，這兩種情況求解即可.

（1）由拋物線得B（0，-4），

∵OA＝OB，且點(diǎn)A在x軸正半軸上，

∴A（4，0）

將A（4，0）代入得

，解得

∴拋物線的解析式為；

（2）∵OA＝OB=4，∠AOB＝90°，

∴∠OAB＝∠OBA＝45°，AB=，

∴∠ADM+∠AMD＝135°

∵∠CMD＝45°

∴∠AMD+∠BMC＝135°，

∴∠ADM＝∠BMC， 

∴△ADM∽△BMC，

∴，則，

∵M(jìn)為AB的中點(diǎn)，

∴AM＝BM＝，

∴就是所求的函數(shù)關(guān)系式；

（3）由

∴拋物線與x軸另一個(gè)交點(diǎn)為（-2，0），

∵A（4，0），B（0，-4），

∴AB中點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，-2）

①當(dāng)MP經(jīng)過點(diǎn)（-2，0）時(shí)，MP的解析式為

∵M(jìn)P交y軸于點(diǎn)C，

∴C（0，-1），則n=BC＝OB－OC＝3

由，得

∴OD=OA-AD=，則D（，0）

∵M(jìn)Q經(jīng)過M（2，-2）、D（，0），

∴MQ的解析式為；

②當(dāng)MQ經(jīng)過點(diǎn)（-2，0）時(shí)，MQ的解析式為

此時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-2，0），m=AD=6

∴，即BC＝

∴OC＝OB－BC＝，則C（0，－）

∵M(jìn)P經(jīng)過M（2，-2）、C（0，－），

∴MP的解析式為.

考點(diǎn)：二次函數(shù)的綜合題

點(diǎn)評(píng)：此類問題難度較大，在中考中比較常見，一般在壓軸題中出現(xiàn)，需特別注意.