Question

如圖①，Rt△ABC中，∠B=90°∠CAB=30°，AC⊥x軸．它的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（10，0），頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→B→C的方向勻速運(yùn)動，同時點(diǎn)Q從點(diǎn)D（0，2）出發(fā)，沿y軸正方向以相同速度運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時，兩點(diǎn)同時停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動的時間為t秒．
（1）求∠BAO的度數(shù)．（直接寫出結(jié)果）
（2）當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動時，△OPQ的面積S與時間t（秒）之間的函數(shù)圖象為拋物線的一部分（如圖②），求點(diǎn)P的運(yùn)動速度．
（3）求題（2）中面積S與時間之間的函數(shù)關(guān)系式，及面積S取最大值時點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（4）如果點(diǎn)P，Q保持題（2）中的速度不變，當(dāng)t取何值時，PO=PQ，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用∠BAO的正切值，求出∠BAO的度數(shù)即可；
（2）利用圖②中的函數(shù)圖象，求得點(diǎn)P的運(yùn)動時間與路程解決即可；
（3）利用特殊角的三角函數(shù)，三角形的面積以及配方法解決問題；
（4）分兩種情況進(jìn)行列方程解決問題．
解答：解：（1）如圖，

過點(diǎn)B作BE⊥OA于E，則OE=5，BE=5，OA=10，
∴AE=5，Rt△ABE中，tan∠BAO==，
∴∠BAO=60°；

 （2）由圖形可知，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動了5秒時，它到達(dá)點(diǎn)B，此時AB=10，因此點(diǎn)P的運(yùn)動速度為10÷5=2個單位/秒，
點(diǎn)P的運(yùn)動速度為2個單位/秒；

（3）P（10-t，t）（0≤t≤5），
∵S=（2t+2）（10-t），
=-（t-）²+，
∴當(dāng)時，S有最大值為，
此時；

（4）當(dāng)P在AB上時，根據(jù)P點(diǎn)縱坐標(biāo)得出：
，
解得：，
當(dāng)P在BC上時，，
此方程無解，故t不存在，
綜上所知當(dāng)t=時，PO=PQ．
點(diǎn)評：此題主要考查二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，三角形的面積，特殊角的三角函數(shù)，以及分類討論思想的滲透．