Question

如圖，正方形ABCD，O是正方形中心，P為OA上一點，PB⊥PE交CD于E．
（1）求證：PB=PE；
（2）試寫出PA，PC，CE三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

解：（1）證明：過點P作PF⊥BC于點F，PG⊥CD與G，
∴∠PFC=∠PGC=90°．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠DCB=90°，
∴四邊形PFCG是矩形．
∵AC為正方形ABCD的對角線，
∴AC是∠BCD的角平分線．
∴PF=PG．
∴四邊形PFCG是正方形．
∴PF=PG．∠FPG=90°
∵PB⊥PE，
∴∠BPE=90°，
∴∠FPG=∠BPE，
∴∠FPG-∠FPE=∠BPE-∠FPE，
∴∠2=∠1．
∵在△PGE和△PFB中，
，
∴△PGE≌△PFB（ASA），
∴PB=PE；

（2）PC=PA+CE．
將△PEC繞點P順時針旋轉(zhuǎn)180°，連結(jié)E′A，E′B，BE．
∴PC=PC′，∠C=∠PCE=45°，C′E′=CE，PE′PE，
∴C′E′∥CD．
∵AB∥CD，
∴C′E∥AB．
∵PE′=PB=PE，
∴∠E′BE=90°，BE′=BE，
∴∠3+∠ABE=∠4+∠ABE，
∴∠3=∠4．
∵在△AE′B和△CEB中
，
∴△AE′B≌△CEB（SAS），
∴∠E′AB=∠BCE=90°．
∵C′E∥AB．
∴∠C′E′A=90°，
∴AC′=C′E′=CE．
∵PC′=PA+AC′，
∴PC=PA+CE．
分析：（1）過點P作PF⊥BC于點F，PG⊥CD與G，根據(jù)正方形的性質(zhì)得出四邊形PFCG是正方形，利用△PGE≌△PFB就可以得出結(jié)論；
（2）將△PEC繞點P順時針旋轉(zhuǎn)180°，連結(jié)E′A，E′B，BE．根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可以得出△E′BE是等腰直角三角形，根據(jù)其性質(zhì)可以得出△AE′B≌△CEB，運用勾股定理就可以表示出AC′與CE的關(guān)系，從而得出結(jié)論．
點評：本題考查了正方形的性質(zhì)的運用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，勾股定理的運用及圖形旋轉(zhuǎn)的運用．解答時證明三角形全等是解答本題的關(guān)鍵．