Question

已知：如圖，在銳角∠MAN的邊AN上取一點(diǎn)B，以AB為直徑的半圓O交AM于C，交∠MAN的角平分線于E，過點(diǎn)E作ED⊥AM，垂足為D，反向延長(zhǎng)ED交AN于F.

(1)猜想ED與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；

(2)若cos∠MAN=，AE=，求陰影部分的面積.

 

Answer 1

證明：（1）DE與⊙O相切. …………………………1分

理由如下：

連結(jié)OE.

∵AE平分∠MAN,

∴∠1=∠2.

∵OA=OE,

∴∠2=∠3.

∴∠1=∠3,

∴OE∥AD.

∴∠OEF=∠ADF=90°,…………………………2分

即OE⊥DE，垂足為E.

又∵點(diǎn)E在半圓O上，

∴ED與⊙O相切. …………………………3分

（2）∵cos∠MAN=,

∴∠MAN=60°.

∴∠2=∠MAN=×60°=30°,

∠AFD=90°-∠MAN=90°-60°=30°.

∴∠2=∠AFD，

∴EF=AE=. …………………………4分

在Rt△OEF中，tan∠OFE=，

∴tan30°=，

∴OE=1. …………………………5分

∵∠4=∠MAN=60°，

∴S陰=

=.…………………………6分