Question

（1999•武漢）已知拋物線y=x²+kx+k-1．
（1）求證：無論k為什么實(shí)數(shù)，拋物線經(jīng)過x軸上的一定點(diǎn)；
（2）設(shè)拋物線與y軸交于C點(diǎn)，與x軸交于A（x₁，0）、B（x₂，0）兩點(diǎn)，且滿足x₁＜x₂，|x₁|＜|x₂|，S_△ABC=6．問：過A，B，C三點(diǎn)的圓與該拋物線是否有第四個交點(diǎn)？試說明理由．如果有，求出其坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）令y=0，解方程x²+kx+k-1=0，即可求出拋物線與x軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，定點(diǎn)為與k值無關(guān)的點(diǎn)；
（2）過A、B、C三點(diǎn)的圓與拋物線有第四個交點(diǎn)D，根據(jù)A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)，討論k的范圍，表示△ABC的面積，列方程求k，再根據(jù)對稱性求D點(diǎn)坐標(biāo)．
解答：（1）證明：令y=O，有x²+kx+k-1=0，
解得x₁=-1，x₂=1-k，
∴拋物線通過x軸上一定點(diǎn)（-1，0）．

（2）解：過A、B、C三點(diǎn)的圓與拋物線有第四個交點(diǎn)D．
∵|x₁|＜|x₂|，C點(diǎn)在y軸上，
∴點(diǎn)C不是拋物線的頂點(diǎn)，
由于圓和拋物線都是軸對稱圖形，
過A、B、C三點(diǎn)的圓與拋物線組成一個軸對稱圖形，
所以過A、B、C三點(diǎn)的圓與拋物線的第四個交點(diǎn)與C點(diǎn)是對稱點(diǎn)．
∵x₁=-1＜0，x₁＜x₂，|x₁|＜|x₂|，
∴x₂＞1，
即x₂=1-k＞1，
∴k＜0
∵S_△ABC=6，
∴|1-k|•（1+|1-k|）=6
∴（1-k）²+（1-k）-12=0，
解得1-k=4或1-k=3．
∴k=5（舍去），k=-2，
∴y=x²-2x-3，
其對稱軸為x=1，
根據(jù)對稱性，D點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-3）．
點(diǎn)評：本題考查了拋物線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)求法，根據(jù)面積確定拋物線解析式的待定系數(shù)及拋物線的對稱性的運(yùn)用．