Question

【題目】（本小題12分）如圖1，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，AC=12cm，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB以每秒1cm的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿CA以每秒2cm的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0＜t＜6），過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F．

（1）試用含t的式子表示AE、AD的長(zhǎng)；

（2）如圖2，在D、E運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，四邊形AEFD是平行四邊形，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）連接DE,當(dāng)t為何值時(shí)，△DEF為直角三角形？

（4）如圖3，連接DE，將△ADE沿DE翻折得到△A′DE，試問(wèn)當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形AEA′D為菱形？

Answer 1

【答案】（1）AE=t ， AD=12－2t ；（2）四邊形AEFD是平行四邊形，理由見(jiàn)解析； （3）t=3秒或t＝秒；（4）t=4．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)點(diǎn)E以每秒1cm的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)D以每秒2cm的速度運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，可

得AE=t ，CD=2t，所以可得AD=12－2t ；（2）當(dāng)DF⊥BC，且DF= AE 時(shí)，四邊形AEFD是平行四邊

形；（3）根據(jù)題意可知∠DFE＜90°，所以分當(dāng)∠EDF=90°時(shí)和當(dāng)∠DEF=90°時(shí)兩種情況討論，利用直角三

角形中30°角的性質(zhì)解答即可；（4）由（2）可知四邊形AEFD可以是平行四邊形，所以滿足AE=AD可得四

邊形AEA′D為菱形，然后解方程即可．

試題解析：解：（1）AE=t ， AD=12－2t （2分）

（2）∵DF⊥BC，∠C=30°

∴ DF=CD=×2t = t

∵ AE =t

∴ DF= AE

∵ ∠ABC=90°, DF⊥BC

∴ DF∥AE

∴ 四邊形AEFD是平行四邊形； （3分）

（3）①顯然∠DFE＜90°；

②如圖①′，

當(dāng)∠EDF=90°時(shí)，四邊形EBFD為矩形，

此時(shí) AE=AD，

∴t＝(122t)，

∴t=3；

③如圖①″，

當(dāng)∠DEF=90°時(shí)，此時(shí)∠ADE=90°

∴∠AED=90°-∠A=30°

∴AD=AE，

∴122t＝t，

∴t＝ ；

綜上：當(dāng)t=3秒或t＝秒時(shí)，△DEF為直角三角形； （4分）

（4）如圖（3），

若四邊形AEA′D為菱形，則AE=AD

∴t=12－2t

∴t=4

∴當(dāng)t=4時(shí)，四邊形AEA′D為菱形 （3分）