Question

已知如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=90°，CD⊥AD，AD²+CD²=2AB²
（1）求證：AB=BC；
（2）過B作BF∥AC交CD的延長線于F，連EF，求證：AE=CF+EF．

Answer 1

分析：（1）由CD⊥AD，根據(jù)勾股定理得到AD²+CD²=AC²，而AD²+CD²=2AB²，則有AC²=2AB²，由∠ABC=90°，根據(jù)勾股定理得到AB²+BC²=AC²，則2AB²=AB²+BC²，即可得到結(jié)論；
（2）過B點作BH⊥AC于H，交AE于G點，由AB=AC，∠ABC=90°得到△ABC為等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠3=∠4=∠5=45°，利用等角的余角相等
∠AGH=∠2+∠3，根據(jù)三角形外角性質(zhì)有∠1=∠2；根據(jù)BF∥AC得∠6=∠3=45°，則∠4=∠6，然后根據(jù)三角形全等的判定方法可證得△ABG≌△CBF（ASA），
則AG=CF，BG=BF；也可證△BGE≌△BFE（SAS），則GE=EF，這樣易得到結(jié)論．

解答：（1）證明：∵CD⊥AD，
∴∠ADC=90°，
∴AD²+CD²=AC²，
而AD²+CD²=2AB²，
∴AC²=2AB²，
∵∠ABC=90°，
∴AB²+BC²=AC²，
∴2AB²=AB²+BC²，
∴AB=BC；

（2）證明：過B點作BH⊥AC于H，交AE于G點，如圖，
∵AB=AC，∠ABC=90°，
∴△ABC為等腰直角三角形，
∴∠3=∠4=∠5=45°，
∵∠AGH+∠GAH=90°，∠2+∠3+∠CAD=90°，
∴∠AGH=∠2+∠3，
而∠AGH=∠1+∠4，
∴∠1=∠2；
∵BF∥AC，
∴∠6=∠3=45°，
∴∠4=∠6，
∵在△ABG和△CBF中，

∠1=∠2 AB=CB ∠4=∠6

，
∴△ABG≌△CBF（ASA），
∴AG=CF，BG=BF，
∵在△BGE和△BFE中，

BG=BF ∠5=∠6 BE=BE

，
∴△BGE≌△BFE（SAS），
∴GE=EF，
而AE=AG+GE，
∴AE=CF+EF．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：有兩組角對應相等，且它們所夾的邊相等，那么這兩個三角形全等；有兩組邊對應相等，且它們所夾的角相等，那么這兩個三角形全等；全等三角形的對應邊相等．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理．