Question

（2010•黔南州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A坐標(biāo)為（2，4），直線x=2與x軸相交于點(diǎn)B，連接OA，拋物線y=x²從點(diǎn)O沿OA方向平移，與直線x=2交于點(diǎn)P，頂點(diǎn)M到A點(diǎn)時(shí)停止移動(dòng)．
（1）求線段OA所在直線的函數(shù)解析式；
（2）設(shè)拋物線頂點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，
①用m的代數(shù)式表示點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②當(dāng)m為何值時(shí)，線段PB最短；
（3）當(dāng)線段PB最短時(shí)，相應(yīng)的拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使△QMA的面積與△PMA的面積相等？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)A點(diǎn)的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法即可求出直線OA的解析式．
（2）①由于M點(diǎn)在直線OA上，可根據(jù)直線OA的解析式來(lái)表示出M點(diǎn)的坐標(biāo)，因?yàn)镸點(diǎn)是平移后拋物線的頂點(diǎn)，因此可用頂點(diǎn)式二次函數(shù)通式來(lái)設(shè)出這個(gè)二次函數(shù)的解析式，P的橫坐標(biāo)為2，將其代入拋物線的解析式中即可得出P點(diǎn)的坐標(biāo)．
②PB的長(zhǎng)，實(shí)際就是P點(diǎn)的縱坐標(biāo)，因此可根據(jù)其縱坐標(biāo)的表達(dá)式來(lái)求出PB最短時(shí)，對(duì)應(yīng)的m的值．
（3）根據(jù)（2）中確定的m值可知：M、P點(diǎn)的坐標(biāo)都已確定，因此AM的長(zhǎng)為定值，若要使△QMA的面積與△PMA的面積相等，那么Q點(diǎn)到AM的距離和P到AM的距離應(yīng)該相等，因此可分兩種情況進(jìn)行討論：
①當(dāng)Q在直線OA下方時(shí)，可過(guò)P作直線OA的平行線交y軸于C，那么平行線上的點(diǎn)到OA的距離可相等，因此Q點(diǎn)必落在直線PC上，可先求出直線PC的解析式，然后利用拋物線的解析式，看得出的方程是否有解，如果沒(méi)有則說(shuō)明不存在這樣的Q點(diǎn)，如果有解，得出的x的值就是Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)，可將其代入拋物線的解析式中得出Q點(diǎn)的坐標(biāo)．
②當(dāng)Q在直線OA上方時(shí)，同①類(lèi)似，可先找出P關(guān)于A點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D，過(guò)D作直線OA的平行線交y軸于E，那么直線DE上的點(diǎn)到AM的距離都等于點(diǎn)P到AM上的距離，然后按①的方法進(jìn)行求解即可．
（本題也可通過(guò)以AP為底，找出和點(diǎn)M到AP的距離相等的兩條直線，然后聯(lián)立拋物線的解析式進(jìn)行求解即可）．
解答：解：（1）設(shè)OA所在直線的函數(shù)解析式為y=kx，
∵A（2，4），
∴2k=4，
∴k=2，
∴OA所在直線的函數(shù)解析式為y=2x．

（2）①∵頂點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，且在線段OA上移動(dòng)，
∴y=2m（0≤m≤2）．
∴頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，2m）．
∴拋物線函數(shù)解析式為y=（x-m）²+2m．
∴當(dāng)x=2時(shí)，y=（2-m）²+2m=m²-2m+4（0≤m≤2）．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2，m²-2m+4）．
②∵PB=m²-2m+4=（m-1）²+3，
又∵0≤m≤2，
∴當(dāng)m=1時(shí)，PB最短．

（3）當(dāng)線段PB最短時(shí)，此時(shí)拋物線的解析式為y=（x-1）²+2
即y=x²-2x+3．
假設(shè)在拋物線上存在點(diǎn)Q，使S_△QMA=S_△PMA．
設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x，x²-2x+3）．
①點(diǎn)Q落在直線OA的下方時(shí)，過(guò)P作直線PC∥AO，交y軸于點(diǎn)C，
∵PB=3，AB=4，
∴AP=1，
∴OC=1，
∴C點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，-1）．
∵點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2，3），
∴直線PC的函數(shù)解析式為y=2x-1．
∵S_△QMA=S_△PMA，
∴點(diǎn)Q落在直線y=2x-1上．
∴x²-2x+3=2x-1．
解得x₁=2，x₂=2，
即點(diǎn)Q（2，3）．
∴點(diǎn)Q與點(diǎn)P重合．
∴此時(shí)拋物線上存在點(diǎn)Q（2，3），使△QMA與△APM的面積相等．
②當(dāng)點(diǎn)Q落在直線OA的上方時(shí)，
作點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)稱(chēng)點(diǎn)D，過(guò)D作直線DE∥AO，交y軸于點(diǎn)E，
∵AP=1，
∴EO=DA=1，
∴E、D的坐標(biāo)分別是（0，1），（2，5），
∴直線DE函數(shù)解析式為y=2x+1．
∵S_△QMA=S_△PMA，
∴點(diǎn)Q落在直線y=2x+1上．
∴x²-2x+3=2x+1．
解得：x₁=2+，x₂=2-．
代入y=2x+1得：y₁=5+2，y₂=5-2．
∴此時(shí)拋物線上存在點(diǎn)Q₁（2+，5+2），Q₂（2-，5-2）
使△QMA與△PMA的面積相等．
綜上所述，拋物線上存在點(diǎn)，Q₁（2+，5+2），Q₂（2-，5-2），Q₃（2，3），使△QMA與△PMA的面積相等．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)解析式的確定、二次函數(shù)圖象的平移、函數(shù)圖象的交點(diǎn)、圖形面積的求法等知識(shí)點(diǎn)，主要考查學(xué)生分類(lèi)討論和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．