Question

如圖，點A為雙曲線y=

k

x

的圖象上一點，點B是直線y=x的圖象上一點，且AB⊥OB，若OB²-AB²=5，則k=

5

2

．

Answer 1

分析：首先過點A作AD∥x軸，交直線OB于點D，作AC∥y軸，交直線OB于點C，易得△ABD與△ABC是等腰直角三角形，即AB=AD=BC，又由OB²-AB²=5，可得OD•OC=5，設(shè)點A的坐標(biāo)為：（x，

k

x

），可得點C的坐標(biāo)為：（x，x），點D的坐標(biāo)為：（

k

x

，

k

x

），則OC=

2

x，OD=

2 k

x

，即可得方程：

2

x•

2 k

x

=5，解此方程即可求得答案．

解答：解：過點A作AD∥x軸，交直線OB于點D，作AC∥y軸，交直線OB于點C，
∵直線OB的解析式為：y=x，
∴∠xOB=∠BOy=45°，
∴∠ADB=∠ACB=45°
∵AB⊥OB，
∴△ABD與△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=AD=BC，
∵OB²-AB²=5，
∴（OB+AB）（OB-AB）=5，
即（OB+BD）（OB-BC）=OD•OC=5，
設(shè)點A的坐標(biāo)為：（x，

k

x

），
∴點C的坐標(biāo)為：（x，x），點D的坐標(biāo)為：（

k

x

，

k

x

），
∴OC=

2

x，OD=

2 k

x

，
∴

2

x•

2 k

x

=5，
解得：k=

5

2

．
故答案為：

5

2

．

點評：此題考查了反比函數(shù)與一次函數(shù)的性質(zhì)、平方差公式以及等腰直角三角形性質(zhì)．此題難度較大，解題的關(guān)鍵是輔助線的構(gòu)造，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．